lunes, 30 de septiembre de 2013

Cantor, ¿otro matemático trasnochado?


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¿Serán numéricamente construibles, Lista(C) y el x(C) de Cantor?

Si aceptamos que el conjunto de los números reales es un conjunto denso (entre dos números reales (distintos), siempre existirán infinitos números reales – el resultado de dividir la suma de dos números reales (distintos) entre dos, es otro número real) –; Lista(C), jamás podrá contener la construcción numérica de todos los números reales del Intervalo Unidad.
¿Demostración matemática? (bueno, pero si acaso tal, requeté somera)

Lista de Cantor: …………………………………………………… FC(x): (N®(0, 1) de R)
La lista de Cantor, se construye mediante (FC(x)), igualando (1 a 1) los números naturales a los números reales del Intervalo Unidad. Con la esperanza de no poder definir una relación función biyectiva en dicha lista. En particular, que algún elemento de (R(0, 1): Codominio) quede sin aparear, implicando así, que dicha relación no es sobreyectiva.
En síntesis: demostrar que no es posible establecer una correspondencia biunívoca básicamente una numeración de los elementos del Intervalo Unidad entre los miembros de Lista(C).

N     » R(0, 1)
r(1) = [0]001…
r(2) = 0[0]02…
r(3) = 00[0]3…
r(4) = 000[4]…
r(n) = …

(x) de Cantor: (r[Fila, Columna])
Cantor, intenta construir un número real x(C) del Intervalo Unidad, tal que no pueda encontrase en Lista(C). Para ello, define el proceso diagonal (PDC()=for(k=1; k<¥; k++) x[k]+=mod(r[k, k]+1; 9);).

Nota: dada la conformación de PDC(), y siendo Lista(C), un intento de enumerar cierto intervalo numérico, ésta, no debería contener elementos idénticos – en un mismo dominio de la función –. En consecuencia, por ej.: o contiene a 0,49 o a 0,50, pero nunca ambos. Enunciamos entonces que: Lista(C), no contiene elementos cuyo periodo sea: (9).
Caso contrario, y con el fin de evitarle inconvenientes a Cantor – a consecuencia de una desafortunada convención matemática: diferentes representaciones simbólicas de un mismo número, ej.: 0,49=0,50=0,5 –, modificamos un poco la alteración de cada digito de su diagonal – evitando así, que su x(C) contenga algún digito: (0) por ej.: (PDC()=for(k=1; k<¥; k++) if(r[k, k]≠9) then x[k]=mod(r[k, k]+1; 9); else x[k]=1);)–, o simplemente definiendo nuestra función como (PDC()= for(k=1; k<¥; k++) x[k]+=mod(r[k, k]+2; 9);).



La pregunta retórica de Cantor: ¿puede Lista(C) contener a x(C)?
Dada su construcción, x(C) no podrá estar contenido en lista finita o infinita alguna. Puesto que, dicha posibilidad es cercenada por (PDC()): si por alguna paradójica razón (alcanzar lo inalcanzable), x(C) fuese construido, éste, contendría al menos un digito diferente a cada número (elemento del Codominio) de Lista(C).

Conclusión de Cantor: dado que nuestra premisa de partida fue suponer al conjunto de los números reales del Intervalo Unidad numerable. Y siendo, que pudimos construir un x(C), tal que, no puede estar contenido en Lista(C). En consecuencia, demostramos por reducción al absurdo, que: el conjunto de los números reales del Intervalo Unidad, y por extensión, el conjunto de números reales, no es numerable.

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Planteo sobre el anterior método:
Dejando temporalmente de lado, el que: tanto Lista(C) como x(C) son numéricamente inconstruibles, me planteo lo siguiente:

Lista de Quien: ……………………………………………….…… FQ(x): (Q®(0, 1) de Q)
Dato: si en su lugar propusiéramos una Lista(Q), construida mediante (FQ(x)) igualando (1 a 1) los números racionales a los números racionales entre (0, 1). Con la esperanza de no poder definir una relación (función biyectiva) en dicha lista (en particular: que algún elemento de (Q(0, 1): Codominio), quede sin aparear; implicando que dicha relación no es sobreyectiva).
En síntesis: demostrar que no es posible establecer una correspondencia biunívoca entre los miembros de Lista(Q).
En tal contexto se nos presentaría el problema de si: ¿x(Q), es efectivamente un número racional de (0, 1)? Puesto que, si un numero racional posee una expresión decimal infinita – distinta de cero –; debe necesariamente ser periódico. Siendo que (FQ(x)), no garantiza una periodicidad devenida de los dígitos de la diagonal de Lista(Q).
§  El mismo contra argumento es aplicable a: …..…… FQ’(x): (N®(0, 1) de Q)

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Lista de Nadie: ……………………………………………………..… FN(x): (N®N+1000)
Lista(N) se construye mediante (FN(x)) igualando (1 a 1) los números naturales a los números naturales superiores a 1000. Con la esperanza de no poder definir una relación (función biyectiva) en dicha lista (en particular: que algún elemento de (N+1000: Codominio), quede sin aparear; implicando que dicha relación no es sobreyectiva).
En síntesis: demostrar que no es posible establecer una correspondencia biunívoca entre los miembros de Lista(N).

N    « N+1000
r(1) = {0}…100[1]
r(2) = {0}…10[0]2
r(3) = {0}…1[0]03
r(4) = {0}…[1]004
r(n) = …

(x) de Nadie: (r[Fila, Columna])
Nadie intenta construir un número natural x(N) superior a 1000, tal que no pueda encontrarse en Lista(N). Para ello, define una función (PDC()=for(k=1; k<n; k++) x[k]+=mod(r[k, k]+1; 9);).
Nota: dado que, al parecer, para tantos matemáticos trasnochados: en el infinito, lo absurdo pierde sentido {¿ironía de otro nivel?}. Si paradójicamente, de alguna forma logramos alcanzar lo inalcanzable y construir tan siquiera un número real poseedor de una expresión decimal infinita (periódica – distinta de cero – o no periódica) de Lista(C) {¿Cantor=Chuck Norris?}. Con similar grado de absurdidad, podríamos asumir que dicho algoritmo de construcción se ha detenido en una específica cantidad propiamente numéricafinita de iteraciones. Por consiguiente, tanto (n) como x(N) poseerían una específica cantidad propiamente numérica finita de dígitos, cumpliendo con el requisito de que todo numero natural es poseedor de una específica cantidad propiamente numérica finita de dígitos no nulos {su expresión entera}.

La pregunta retórica de Nadie: ¿puede Lista(N) contener a x(N)?
Dada su construcción, x(N) no podrá estar contenido en lista (finita o infinita) alguna. Puesto que dicha posibilidad es cercenada por (FNX(x)): si por alguna paradójica razón {oxímoron mediante: alcanzar lo inalcanzable}, x(N) fuese construido; este contendría al menos un digito diferente a cada número natural superior a 1000.

Conclusión de Nadie: dado que nuestra premisa de partida fue suponer al conjunto de los números naturales superiores a 1000, numerable. Y siendo, que pudimos construir un x(N) superior a 1000, tal que, no puede estar contenido en Lista(N). En consecuencia, demostramos por reducción al absurdo, que: el conjunto de los números naturales superiores a 1000; no es numerable.

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Tomemos en consideración lo siguiente

¿Qué representa el símbolo de infinito?
El símbolo infinito, no representa una específica cantidad propiamente numéricade su unidad. En su lugar, representa lo inalcanzable (inconmensurable). Y particularmente, en teoría de conjuntos (post Cantor), representa un número transfinitopropiamente un conjunto inductivo – considerado como mayor a cualquier número de su conjunto.
§  Infinito actual: cantidad infinita completa (concretada) – o infinito propio de Cantor (número transfinito) –.
§  Infinito potencial: sucesión interminable que converge a cierto límite – o infinito impropio de Cantor –.
Nota: ahora, ¿por qué razón, ser – al mismo tiempo – un conjunto ordenado completo – acabado – e incompletable – sin último elemento –, no resulta auto-contradictorio?

Nota: Cantor, consideraba tres contextos donde surge el concepto de infinito actual:
§  Cuando es realizado en su forma más completa, en un ser independiente de otro mundo, en Dios, al cual denomino: infinito absoluto o simplemente absoluto.
§  Cuando acontece en lo infinito empíricamente-contingente, en el mundo físico.
Critica:
Entonces, ¿será que algún infinito actual, existe? y ¿será incluso experimentable?
Como siempre. Básicamente, nos estamos preguntando si: ¿x = y? – siendo (x: cualquier infinito actual) e (y: característicasempíricas o teóricasde lo existente) –. Por lo tanto, dependiendo del grado de adecuación entre (x) e (y) – respecto de un específico sistema axiomático (arbitrariamente elegido y verificado) –, se derivará su valor de verdad.
Bien. Hasta donde he podido reflexionar. Lo infinitoinespecífico proceso inacabable, que remite a: una inespecífica cuasi-potencialidad, por ser ésta inalcanzable y en consecuencia a un objeto empíricamente incontrastable (por inconcretable) –, obviamente se autoexcluye del ámbito empírico – puesto que: en cada estadio del específico proceso, dicho objeto físico, será finito –. A menos claro, que consideréis coherente, el que un objeto físico – e incluso matemático – posea específicas características contradictorias – en nuestro caso: la de ser un específico proceso inacabable, actualmente acabado.
Nota: aunque. Debería revisar las publicaciones científicas a este respecto. Uno no debe subestimar, la capacidad de elucubración, de algunos físicos teóricos/matemáticos trasnochados. Esperen. Increíble, lo han publicado y hace rato. Aunque, “lo veo, pero no lo creo”: dijo el trasnochado Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor.

Ergo, todo proceso inacabable, deberá ser restringido exclusivamente al ámbito abstracto. Siendo, según convención vigente: específicamente identificado – y, en consecuencia: no algo concretado –, a su específica representación simbólica, según las específicas características de su tendencia.
Nota: por las dudas y a consecuencia del anterior análisis. Tampoco concuerdo, con la concreción de procesos inacabablesinfinito actual –, en el ámbito matemático.

Finalmente. Respecto de cualquier objeto físico, solo nos es posible físicamente aplicar/constituir: específicos procesos acabables. Debido a que: ineludiblemente, alcanzaremos su específica condición de corte – misma que, esencialmente estará supeditada a: leyes y constantes físicas, limitaciones tecnológicas y temporales –. Aunque, haciendo a un lado, el aparente poder hipnótico, que algunos físicos teóricos/matemáticos trasnochados parecieran poseer – dado el grado de convencimiento logrado entre pares y adoradores (en buen número: autoproclamados conocedores de la ciencia), respecto de sus elucubraciones –, no me resultaría extraño, que tales prodigios pudiesen físicamente aplicar/constituir un específico proceso inacabable respecto de un especifico objeto físico.
§  Cuando nuestra mente lo aprehende, en abstracto como una magnitud matemática, número, o tipo de orden: infinito mental.
Quiero hacer un claro contraste entre lo que denomino infinito absoluto y lo que denomino transfinito. Es decir, los infinitos actuales de las dos últimas clases. Mismos, que están claramente limitados – sujetos a nuevas extensiones – y por lo tanto relacionados con lo finito.

Nota: según parece, Cantor rechazo la distinción entre infinito potencial y actual. Debido a que, para Cantor, en matemática: todo infinito potencial presupone la existencia de un infinito actual. Puesto que, las matemáticas son atemporales – es decir: no pueden albergar la noción de progreso en el tiempo, sino que cualquier progreso debe considerarse actual o atemporal –. De hecho, si una teoría matemática tuviese en cuenta la dimensión temporal, entonces, automáticamente, tal teoría pasaría a pertenecer al campo de la física.
Critica: si bien, en matemáticas – así como en cualquier sistema axiomático – es posible construir – e incluso declarar verdaderas – a entidades/objetos auto-contradictorias – (A) y no (ØA): “lo inacabable acabado, no constituye una contradicción en esta teoría” –. Tampoco, es como para que venga Cantor y nos venda su axiomática del infinito actual. Y peor aún, que vengan sus fanes, a pretender que identifiquemos, una cantidad propiamente numérica a una cantidad propiamente un conjunto inductivo.

Numérico: relativo a los números.

Número: concepto que representa:
§  una específica cantidad – respecto de su unidad –.
§  una específica posición – respecto de su sistema coordenado –.
§  un específico ordinal – posición respecto de su sucesión ordenada –.
§  un ordinal: (posición respecto de su sucesión ordenada).
§  alguna específica elucubración de algún matemático trasnochado, para quien: el absurdo no parece tener límite definido.
§ 

Conjunto inductivo: (principio de inducción matemática – basado en el 5to axioma de Peano –)
Un conjunto de números (S) – subconjunto de los números reales –, es un conjunto inductivo, sí y sólo sí, (S) tiene las siguientes propiedades:
1)    (1) Є S.
2)    Si (a) Є S ® (a+1) Є S {: Sucesor(a) = a’ Є S}.
Un ejemplo de conjunto no inductivo seria: S´= {1, 3, 5, 7,...}, dado que, si bien (1) Є S´, (1+1) !Є S´.
Definición.01: dado un conjunto (a), el sucesor de (a) es (a’ = aÈ{a}). Esto sería equivalente a decir que: (a®a’).
Definición.02 (ordinales por clases de equivalencia):
1er. ordinal (finito):           0=f.
2do. ordinal (finito):           1=f’={f}.
3er. ordinal (finito):           2=f’’={f,{f}}.
4to. ordinal (finito):           3=f’’’={f,{f},{f,{f}}}.
1er. ordinal (transfinito):    w=f={f,{f},{f,{f}},…} = À0 [ infinito actual ].
2do. ordinal (transfinito):    (w+1)=f(∞+1)={f,{f},{f,{f}},…, {f}}.
(w+w)=f(∞+∞)={f,{f},{f,{f}},…, f,{f},{f,{f}},…}.
(2w+1).
(2w+w).
(w*w).
(w^2+1).
(w^2*w).
(w^3+1).
(w^w).
(w^w+1).
(w^w^w^…).
[ ¿infinito potencial? ].

Nota: dependiendo de la Hipótesis del Continuo, tenemos que: (Àx^Àx=2^Àx=À(x+1): cardinales regulares)). Y (Àx<2^Àx), así como ((Àw: primer cardinal singular)=2À0).

Principio de inducción matemática:
"n Î N: [p(n)=v], si se cumplen las siguientes condiciones:
1)   Verificamos que: [p(1)=v].
2)   Hipótesis de inducción: se supone que: [p(k)=v] para (k>x) Î N.
3)   Tesis de inducción: se demuestra – empleando el método deductivo – que: [p(k+1)=v] – o bien que: [p(k)=v]®[p(k+1)=v] –.  
¿Que demuestra en última instancia este método?: que si [p(k)=v], entonces [p(k+1)=v].
Ejemplo:
Proponemos que: p(n): 1+3+5+…+(2n-1) = n^2.
1)   Verificamos que: p(1)=1=1^2 ® “p(v)=v”.
2)   Suponemos que: p(k)=1+3+…+(2k-1) = k^2 ® “suponemos a p(k)=v”.
3)   Demostremos que se verifica para: p(k+1) ® “p(k+1)=v”.
Para ello, sumemos a cada miembro: (2(k+1)-1) – consecuencia de agregar el siguiente término de la sucesión –: 1+3+…+2(k-1)+(2(k+1)-1) = k^2+2(k+1)-1.
Operando el 2do miembro: k^2+2k+1 = (k+1)^2.
Conclusión: p(k+1) = 1+3+…+2(k-1)+(2(k+1)-1) = (k+1)^2 = v.

5to. axioma de Peano:
Si un conjunto de números naturales contiene al cero/uno y a los sucesores de cada uno de sus elementos, entonces: contiene a todos los números naturales.
§  Denotemos P(n) como: (n) cumple la propiedad (P), siendo (n) un natural.
§  Supongamos que P(0) es verdadero, y supongamos además que: Si P(n) es verdadero, entonces: P(n+1) es también verdadero.
§  Entonces, (P) se cumple para todo natural (n).

Axioma del infinito: (apela a la inducción matemática)
Un conjunto es infinito, si puede ponerse en correspondencia biyectiva con un subconjunto propio de sí mismo.

Numerable:
Un conjunto (infinito) es numerable si puede ponerse en correspondencia biunívoca (1 a 1) con los naturales.
§  En teoría de conjuntos, contar es establecer una biyección con los naturales.
§ 

Numerar: contar los elementos de un conjunto siguiendo cierto orden.

Enumerar: listar los elementos de un conjunto en forma sucesiva y ordenada.
§  Aunque, con posterioridad a Cantor, enumerar ahora sería: establecer una biyección con dominio en los naturales.

Serie matemática:
Generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión – básicamente: una sucesión de sumas –.

Sucesión numérica:
Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números Naturales sobre otro conjunto numérico.

Demostración matemática:
Sucesión finita de proposiciones verdaderas, obtenidas unas de otras mediante reglas de inferencias – a excepción de: premisas, teoremas e hipótesis –; con la intención de demostrar si nuestra hipótesis, es consistente con el resto del sistema axiomático.
§  Axioma: proposición evidente – aceptada sin demostración formal –.
§  Postulado: proposición ni evidente ni demostrada formalmente – no son tautologías –, aunque considerada necesaria.
§  Teorema: proposición no evidente demostrada formalmente.
§  Lema: teorema que se propone como regla de inferencia.
§  Corolario: lema empleado en la construcción de una demostración formal corta.
§  Conjetura: proposición ni refutada ni demostrada formalmente – no son tautologías –, aunque tomada provisionalmente como verdadera. Por ejemplo, la conjetura De Goldbach: todo número par mayor que dos puede escribirse como suma de dos números primosej.: 4=2+2; 6=3+3; 8=3+5; 10=3+7=5+5; 12=5+7; 14=3+11=7+7 –.

Número transfinito:
Término, empleado para referirse a ordinales y cardinales infinitospropiamente un conjunto inductivo (es decir: propiamente no-numérico) –, que resultan ser, mayores que cualquier número Natural.
§  Cantor, pretende reducir los elementos de un conjunto, a solo su tamaño/cantidad – es decir: tratarlos simplemente como unidades –. Considerando, como equivalentes a todos aquellos conjuntos que tengan el mismo tamaño – es decir: idéntica clase –. De esta forma, pretende evitar el absurdo, de referirse a la cantidad de elementos, puesto que ello implicaría, asociarle un número, que a fin de cuentas seria finito.
Aunque, al tratar esta representación de clase de equivalencia, como el último elemento inalcanzable de una lista infinita y acabada de solo cantidades – propiamente numéricas –, se le fue la olla. Y si, luego pretende comparar sus “tamaños”, con afirmaciones como: (tal clase, resulta ser “menor” que tal otra {independientemente, de todas las comillas que le agregues, y de que no emplea el termino (clase)}), termina por acabar, en el mismo absurdo que pretendió esquivar.
§  A la vista de tantas obviedades que no han sido reconocidas, hare explicito, al menos lo implicado: considero equivocado el identificar el infinitoinfinito potencial –, con el transfinitoinfinito actual.
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Número cardinal: (Transfinito)
Básicamente, representa la clase de equivalencia a la que pertenece un conjunto.
Los cardinales transfinitos, remiten a los ordinales transfinitos y estos, a un infinito actualconcretado/acabado –. Es decir: son aquellos números ordinales que no tienen la misma cardinalidad que cualquier ordinal menor. O, en otras palabras: la cardinalidad, es independiente de orden de los elementos de un conjunto.
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Número ordinal: (Transfinito: expresión de orden, respecto de una sucesión ordenada)
Básicamente, representa el tipo de orden de un conjunto bien ordenado.
Es decir: un ordinal, es un conjunto bien ordenado por la relación de pertenencia. Los elementos de un ordinal son ordinales también – en consecuencia: un ordinal, es el conjunto de todos los ordinales menores que él –.
Una clase ordinal, no es para Cantor, lo que actualmente denominaríamos una clase de equivalencia, sino un representante de clase de una clase de equivalencia.
Los números ordinales – según Cantor –, deben respetar las siguientes reglas:
1)   (0), es un ordinal.
2)   Si (a), es un ordinal, su sucesor (a+1) también lo es.
3)   Si {a}, es una sucesión de ordinales, entonces existirá un último ordinal (lim{a}), tal que sea mayor que todo (a) Î {a}.
Critica: Cantor, pretende extrapolar la regla (3) – a mi entender, en forma ad-hoc e improcedente –, a sucesiones ordenadas e infinita de elementos. Es decir: puesto que, en una sucesión ordenada y finita de elementos, me presumo capaz de identificar su último elemento (lim{a}), extiendo, dicha capacidad, a sucesiones ordenadas e infinitas de elementos – en cuyo caso: o Cantor, posee la capacidad de identificar el mayor elemento de sucesiones ordenadas e infinitas, o posee la capacidad de convencer tardíamente a través de auto-contradicciones –. Agregando, eso sí, que necesariamente se debe entender, tal sucesión ordenada como siendo un infinito actual (concretado/acabado) y en consecuencia, tomar su mayor elemento (lim{a}) como una cantidad – ¿propiamente numérica? – insuperable. ¿Sera acaso, que de no aceptarse, algunas de las anteriores auto-contradicciones, el absurdo Cantoriano podrían hacerse evidente?
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Función inyectiva:
Cuando cada elemento del (Dom: dominio), se corresponde con al menos un elemento distinto del (Cod: codominio).
§  Una función es inyectiva, si ninguna recta horizontal corta a su gráfica en más de un punto.
§  Ej. de funciones inyectivas (f: R®R): 4x-1, e^x.
§  Ej. de funciones no-inyectivas (f: R®R): x^2, sen(x).
Nota: F: (Dom®Cod).sobreyectiva = F: (Cod®Dom).inyectiva.

Función sobreyectiva:
Cuando cada elemento del (Cod: codominio), se corresponde con al menos un elemento del (Dom: dominio).
§  Una función es sobreyectiva, si la imagen de  (f) – Im(f) – coincide con el conjunto final – Y = conjunto final = codominio de la función. O sea, es sobreyectiva, solo si: (Im(f)=Y).
§  Ej. de funciones sobreyectivas (f: R®R): x^3+3, 3x-2.
§  Ej. de funciones no-sobreyectivas (f: R®R): x^2+1, (2+x)^0.5.

Número irracional: (» infinitud continua)
Número poseedor de una expresión decimal infinita no periódica. Según las propiedades de los números racionales (cuerpo), su expresión decimal – resultado de alguna operación matemática o enunciado matemático –, puede aumentar indefinidamente.

Número racional: (» infinitud discreta)
Número poseedor de una expresión decimal finita o periódica – distinta de cero –. Según las propiedades de los números irracionales (cuerpo), su expresión decimal (resultado de alguna operación matemática o enunciado matemático) posee una expresión decimal infinita no periódica.
§  Ningún número racional tiene sucesor ni antecesor.
Nota: dado los números (periódico puro: qp=0,6) y (periódico mixto: qm=0,46), sabemos que:
§  0: es su parte entera – PE(x) –.
§  4: es su antiperiodo – PA(x) –.
§  6: es su periodo – PP(x): no confundir con parte periódica que sería: 6 –.
Y siendo CD(x) la cantidad de dígitos de (x), implica que, la generalización de la fracción generatriz – FG(x) –, de un número racional es:
§  FG(qm) = (trunc(qm*10^( CD(PA(qm))+CD(PP(qm))))-trunc(qm*10^(CD(PA(qm)))))/((9*10^(CD(PP(qp))-1))+(10^(CD(PP(qp))-1)-1))*(10^CD(PA(qp))).
§  FG(qp) = (trunc(qp*10^(CD(PP(qp))))-trunc(qp))/((9*10^(CD(PP(qp))-1))+(10^(CD(PP(qp))-1)-1))*(10^CD(PA(qp))).

Número Real:
Número poseedor de expresión entera finita y expresión decimal finita o infinita – por el contrario, un número natural solo es poseedor de una expresión entera finita –.
§  En este conjunto no están definidas las raíces de orden par de números negativos ni la división por cero – y claro, infinito no es un número real –.
§  También podrían definirse como: el valor propiamente numérico de un límite convergente (sucesión de Cauchy en los reales).
§  Y dado que, los números reales son una extensión de los racionales: podríamos definirlos como clases de equivalencia de sucesiones convergentes de racionales.
§  Ningún número real tiene sucesor ni antecesor.
§ 

Uso de intervalos encajados en la representación decimal de un número real:
Usando los dígitos del (0 a 9) podemos expresar cualquier número real, por ej.: (x=3,1415…=3*10^0+1*10^-1+4*10^-2+1*10^-3+5*10^-4…). Que en nuestro caso, nos restringiremos exclusivamente a su expresión decimal.
§  Dado que, (x>o Є R) demostraremos que existe un sistema encajado con extremos racionales – bajo la condición (|I(n)|®0) –, que nos permite aproximar cualquier (x) por una sucesión de números racionales.
§  En tal contexto: $ a(0) Є N / a(0)≤x<a(0)+1 ® 0≤10(x-a(0))<10 ® que para 10(x-a(0)), $ un único a(1) Є N, y será 0≤a(1)≤9 / a(1)≤10(x-a(0))<a(1)+1 ® a(0)/10^0+a(1)/10^1≤x<a(0)/10^0+a(1)/10^1+1/10^1.
§  0≤10(x-a(0))-a(1)<1 ® 0≤10^2(x-a(0))-(10*a(1))≤10 ® $ un único a(2) Є N, y será 0≤a(2)≤9 / a(2)≤10^2(x-a(0))-(10*a(1))<a(2)+1 ® a(0)/10^0+a(1)/10^1+a(2)/10^2≤x<a(0)/10^0+a(1)/10^1+a(2)/10^2+1/10^2.
§ 

Dado que, la amplitud de los intervalos es 1/10^n y por ello las dos sucesiones de los extremos tienen el mismo limite.

Es decir, este procedimiento – seguido hasta el infinito –, construye una sucesión de intervalos cerrados y encajados ({a(n)}) donde (I(n)=[a(n), b(n)]):
§  a(n)=a(0)*10^0+a(1)*10^-1+a(2)*10^-2+…+a(n)*10^-n » 0,1+0,14+0,141+…+0,14159+…
§  b(n)=a(0)*10^0+a(1)*10^-1+a(2)*10^-2+…+(a(n)+1)*10^-n » 0,2+0,15+0,142+…+0,14160+…
Más precisamente (I(n)=[a(n)*10^-n, (a(n)+1)*10^-n] – lo cual, a mi entender, haría matemáticamente imposible el que (a(n)=x=b(n)); pero bue…). Y a consecuencia de (|I(n)|®0), sentenciamos que: este procedimiento referencia a un único número real (a(n)=x=p=b(n)).



En la imagen anterior, construimos – potencialmente hablando – la sucesión de intervalos cerrados y encajados ({a(n)}) – específicamente de números racionales –, que debería contener a nuestro (x). Y siendo que, la longitud de cada intervalo tiende a cero, la intersección de todos ellos resulta ser un único número real {a mí, no me miren}, en nuestro caso: (p) – y por lo mismo: un único punto –.
§  {a(n)}=[0, 100]Ì[3, 4]Ì[3,1, 3,2]Ì[3,14, 3,15]Ì[3,141, 3,142]Ì[3,1415, 3,1416]Ì

Convención matemática:
Básicamente, acuerdos – considerados por la “comunidad matemática” – necesarios para que el conjunto de teorías matemáticas mantenga su coherencia – incluido sus respectivos aparatos simbólicos y algorítmicos –.

Teorema de Cantor-Schroder-Bernstein:
Dictamina un criterio para establecer si existe una función biyectiva entre dos conjuntos cualesquiera (A y B): para cualesquier conjuntos (A y B), si existe una función inyectiva de (A en B) y existe una función inyectiva de (B en A), entonces existe una correspondencia biunívoca entre (B y A).
Otros teoremas de la teoría de conjuntos:
§  Todo conjunto infinito, tiene, al menos un subconjunto numerable.
§  Todo subconjunto de un conjunto numerable, es numerable.
§  La unión de todos los conjuntos disjuntos numerables de una familia numerable, es numerable.
§  El conjunto de los números racionales (Q), es numerable.
§ 

Demostraciones de la equipotencia del (0, 1) de (R) y (R): (someras)
§  Para demostrar la equipotencia del intervalo abierto (0, 1) en R y (R), basta representar la aplicación f: ((0, 1)®R), así definida: f(x)=-(1/x)+(1/1-x); para reconocer su biyección; entonces: Card((0, 1))=Card(R).
§  Sea el intervalo abierto (0, p) en R y la función: f(0, 1)®(0, p): x®y=f(x)=(x*p), que transforma y establece una biyección entre los intervalos; luego: (0, 1)»(0, p).
Sea ahora la función f: (f(0, p)®R): x®y=f(x)=cotangente(x), que transforma y establece un biyección entre el intervalo y (R); entonces: (0, p)»R.
Siendo que f: (X®Y) significa: la función (f) mapea el conjunto (X) al conjunto (Y). O sea: x®y=f(x)={por ej.: x^2}.


Actualización: ---------------------------------------------------------------------
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Ahora, que tal si…

Teorema de intervalos cerrados y encajados: (principio de intervalos encajados)
Sea {I(n)}, una sucesión decreciente de intervalos cerrados no vacíos, entonces: (n=1...¥) I(n)≠f. Si como hipótesis adicional tenemos que: |I(n)|®0, donde |I(n)| denota la longitud del intervalo I(n), entonces: (n=1...¥) I(n)={x(n)}o sea, su intersección resulta ser un único punto –. A dicha sucesión, la denominamos sucesión de intervalos encajados o encaje de intervalos.
Demostración:
Sea I(n)=[a(n), b(n)], donde a(n)≤b(n) para todo n Є N, y sean A={a(n): n Є N} y B={b(n): n Є N}; entonces: (A≠f≠B). Dado que nuestros intervalos cerrados están encajados, se sigue que: a(n)≤b(m), para todo n, m Є N, y de lo anterior se deduce que: (A) está acotado superiormente y (B) está acotado inferiormente. Del axioma del supremo, se sigue que: ($a=sup(A) y $b=inf(B)). En consecuencia: (n=1...¥) I(n)=[a, b], que bajo nuestra hipótesis adicional implica: (a=x(n)=b).
§  Según parece, este teorema resulta crucial para otros teoremas, como ser: el teorema del valor máximo y el teorema de la continuidad uniforme.
§ 

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[ Planteo respecto del anterior teorema ] ----------------------------------
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Planteo respecto del teorema de intervalos cerrados y encajados:
De momento, tengo mis dudas sobre: si la intersección de intervalos cerrados y encajados de longitud tendiente a cero en (R), es un elemento único {x(n)} (cierto solo si: longitud(I(n))=0®a(n)=b(n)®[a(n), b(n)]={x(n)}) – coincido en que dicha intersección no es un conjunto vacío {limitaciones de una progresión geométrica: si bien, el lim(n...¥)(b(n)-a(n))=lim(n...¥)(1/2^n)=0 "n>0 Є N, en realidad, esto es una tendencia – (0), es el valor numérico al que puede acercarse indefinidamente este específico límite –, en consecuencia la longitud(I(n))>0®a(n)≠b(n)®[a(n), b(n)]≠{x(n)}} –. Aunque creo, sería más preciso expresar que: si bien, parecería que tiende a decrecer la cantidad – espero que no propiamente numérica – de elementos al ir encajando un intervalo cerrado dentro de otro; nunca deberíamos dejar de considerarlos como: conjuntos de infinitos elementos (por ser un conjunto denso). Entonces, dada la intersección de intervalos cerrados y encajados cuyas longitudes tienden a cero – en (R) –, debería existir – al menos –, un número real que pertenezca a todos esos intervalos – o más precisamente: su intersección nunca dejara de ser un conjunto de infinitos elementos {, flor de {x(n)}, ¿no?} .
§  [1/0]: es una indefinición aritmética.
§  [0/0]: es una indeterminación aritmética.
§  [1/¥]: no es ecuación aritmética. Dado que infinito, no es una específica cantidad propiamente numérica de una específica unidad propiamente numérica. Caso contrario: ¿a qué específico conjunto numérico pertenece infinito? Y nuevamente, en el caso de tomar a infinito como una variable (propiamente numérica) y a (1/¥) como una ecuación algebraica: ¿a qué específico conjunto numérico pertenece la variable infinita? En todo caso, infinito es un concepto que remite a lo inalcanzable. Mismo, que a mi entender, en matemáticas debería ser excluido de la aritmética elemental – y quizás restringido al ámbito del cálculo infinitesimal –. Aceptando, solo como una convención matemática, el que: (1/¥=0) – una especie de redondeo en el contexto de la aritmética elemental –.
§  Y sí, en matemática, se aceptan intervalos de un solo elemento: por ej.: [0, 0]. Siendo su longitud igual a: 0intervalo degenerado: intervalo que contiene un único elemento –.
§  Longitud de un intervalo: valor absoluto de la diferencia entre su extremo superior e inferior: |[0, 0]|=abs(0-0)=0.
§ 
Nota: debido a la completitud de (R) – continuidad –, ese punto – número real –, al que tiende la sucesión de intervalos cerrados y encajados, debe encontrarse en (R). Y aun así, jamás ser alcanzado – dado que se constituye una tendencia inacabable –.
Básicamente: (n=1...¥) I(n)=¥, dado que !$a≠b Є R / a=(abs(a+b)/2)=b – ¿o será que los reales entre dos números distintos se agotan? –.

Límite Matemático: (pormenorizaciones en su definiciónDefinición).

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Uso de intervalos encajados en demostración de no numerabilidad del intervalo unidad:
Asumamos – por el absurdo –, que: el intervalo unidad es numerable. En cuyo caso, podre crear una sucesión {r(n)[n>1 Є N]}=(0, 1) de R, tal que sea: [Inyectiva: "n≠m Є N, r(n)≠r(m)] y [Sobreyectiva: "x Є (0, 1) de R, $n Є N / r(n)=x]. Construyéndola por medio de la función FIE(x): (N®(0, 1) de R), que emplea intervalos encajados para enumerar – acepción pre-Cantoriana – todos los elementos del intervalo unidad – {r(n)}=x(1), x(2), x(3),…, x(n) –.

Por TIE: ……………………………………………………………………………..................…..
a)    (n=1...¥) I(n)=[a(n), b(n)] Є I(0)={x(n)}=a(n)=x(n)=b(n)®$x(n) Є I(1...n).

Por FIE(x): ……………………………………………………………………………………………
Siendo I(n)[n Є N] un intervalo cerrado – no vacío – e I(0)=[a(0):0, b(0):1] de R. Se cumple que "x Є I(0):
1)    r(1)=$|I(1)|=1/2 / I(1)ÌI(0) Ù $x(1) !Є I(1).
2)    r(2)=$|I(2)|=1/4 / I(2)ÌI(1)ÌI(0) Ù $x(2) !Є I(2): x(1…2) !Є I(2), pero puede Є/!Є I(1).
3)    r(3)=$|I(3)|=1/8 / I(3)ÌI(2)...ÌI(0) Ù $x(3) !Є I(3): x(1…3) !Є I(3), pero puede Є/!Є I(1…2).
4)    r(n)=$|I(n)|=1/2^n / I(n)ÌI(n-1)…ÌI(0) Ù $x(n) !Є I(n): x(1…n) !Є I(n), pero puede Є/!Є I(1…n-1).
De esta forma, al mismo tiempo que enumeramosacepción pre-Cantoriana – todos los números del intervalo unidad, construimos una sucesión de intervalos encajados – no vacíos, cuyas longitudes tienden a cero –. Siendo que, según el teorema de intervalos encajados (TIE), su intersección resulta ser un elemento único – aunque lo necesario para esta demostración es que dicha intersección sea no vacía –.

Conclusión: ……………………………………………………………………………………………
De (a) y (4), deviene una contradicción. Por lo que, nuestra presunción inicial: el intervalo unidad es numerable, debe considerarse falsa.
§   http://gaussianos.com/que-no-que-el-conjunto-de-los-numeros-reales-no-es-numerable/

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[ pseudo-Refutación de DCIE ] -------------------------------------------------------
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[ ] pseudo-Refutación en progreso…

DIEC: demostración de Cantor de no numerabilidad del intervalo unidad empleando intervalos encajados.


Entonces, ¿empleando exclusivamente intervalos encajados, puede listarse el intervalo unidad?
§   
§  

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Formas de escribir conjuntos:
§  Por extensión: el conjunto queda determinado por el listado de sus elementos. Ej.: A={1, 2, 3, 4}.
§  Por comprensión: el conjunto queda determinado identificando una propiedad común a sus elementos. Ej.: A={x: x, es un número entero positivo menor a 5}={1, 2, 3, 4}.

Conjunto vacío:
Un conjunto es vacío, si carece de elementos – Card(f)=0, por ende es un conjunto finito –.

Contradicción lógica: (contexto lógico bivalente)
En lógica proposicional, una contradicción (inconsistencia entre proposiciones, ej.: hace frio y no hace frio) se define como una fórmula que resulta falsa para cualquier interpretación (asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas). Según este criterio:
§  Ø((A=A)=v)=f {toda contradicción, es la negación de una tautología}.
§  ((A=A)=v)=Øf {toda tautología, es la negación de una contradicción}.
§  Absurdo (contradicción lógica): ((H=(A+ØA))=f).
§ 

Reducción al absurdo (método de demostración lógico): (contexto lógico bivalente)
Si intentando demostrar la veracidad de (H), partimos de (ØH=v o H=f) y arribamos {mediante la concatenación de inferencias lógicas validas} a que (ØH=f o H=v) {o sea, arribamos a una contradicción lógica}; en tal contexto concluimos que (H=v).

Dimensionalidad:
Número relacionado con las propiedades métricas o topológicas de un objeto matemático. La dimensión de un objeto, es una medida topológica del tamaño de sus propiedades de recubrimiento.
§  Recubrimiento (matemática):
En matemática, una colección de subconjuntos (A) de un conjunto (X), es un recubrimiento, cubrimiento o cubierta de (X), si la unión de los elementos de la colección (A) es igual a (X).
§ 
Nota: en mi caso, empleo este término, debido al grado de adecuación con lo que intento representar. En esencia, la propiedad de recubrimiento que considero poseen todos los conjuntos – en particular los numéricos –, respecto de un patrón que les contenga. Sintéticamente, todas las distancias – permitidas por las propiedades de dicho conjunto – que desde el origen de coordenadas pueden ser alcanzadas, respecto de por ejemplo: la recta real acabada.

Espacio métrico:
En matemática, un espacio métricoespacio topológico – (X: puntos, d: métrica) es un conjunto junto con una función distancia (porque cumple con unas propiedades concretas atribuidas a las distancias) definida sobre él, de modo que cualquier par de puntos (o elementos) del conjunto están a una cierta distancia asignada por dicha función.
§  En análisis matemático, un espacio métrico (X, d) se dice que es completo si toda sucesión de Cauchy converge, es decir, existe un elemento del espacio que es el límite de la sucesión.
§ 

Axiomas de orden:
Los axiomas de orden permiten comparar números reales del siguiente modo: para cada par (a, b) que Є R, se dice que (a) es mayor que (b) o (b) es menor que (a); si y sólo si (a-b) Є R – equivalentemente (a-b)>0 (lo anterior se denota por: (a>b o b<a) respectivamente) –. A consecuencia la ley de tricotomía (comparabilidad entre elementos de un conjunto), se enuncia de la siguiente forma: para cada par (a, b) Є R, se tiene una y sólo una de las siguientes condiciones: (a>b o a<b o b=a).
Los axiomas de orden son: (para todo (a, b, c) Є R)
§  Tricotomía: Se da una y solo una de las siguientes relaciones: o (a>b) o (a<b) o (b=a).
§  Transitividad: si (a<b) e (b<c), entonces: (a<c).
§  Preserva orden bajo adición: si (a<b), entonces: ((a+c)<(b+c)).
§  Preserva orden bajo multiplicación: si (a<by) y (c>0), entonces: ((a*c)<(b*c)).
§ 

Relaciones de orden en conjuntos:
[ ]

Axioma de Arquímedes: (propiedad Aquimediana de la suma en (R))
[ ]

Axiomas de continuidad:
[ ]

Axioma del supremo: (ningún valor de sus elementos supera al de su supremo)
Propiedad que establece al campo de los números reales como un espacio completo (propiedad de continuidad): todo conjunto (A≠f) de reales, acotado superiormente; posee un supremo, es decir, existe un real (s) tal que (s=supremo).
Tener supremo, equivale a ser un cuerpo completo – axioma de completitud/continuidad viene siendo un corolario del axioma del supremo –.
§  ¿(Q) tiene supremo?
Si tomamos el conjunto {0, 2^0,5}, éste tiene supremo en (R) – siendo dicho supremo: 2^0,5 –; mas no lo tiene en (Q). En (Q), dicho conjunto seria {0, 2^0,5} Q={q Є Q: 0<q<2^0,5}; el cual no tiene supremo en (Q). Pues, el único candidato a serlo sería (2^0,5); pero este !Є Q.
§  ¿(N) tiene supremo?
Los números naturales, nos son acotados superiormente.
[ ]
§  ¿(R) tiene supremo – siquiera está acotado –?
[ ]
§  Corolario del axioma de continuidad en (R):
Sea SÌR, si $M=Sup(S) ® dado (e>0) para e Є S, $M Є S / s-e<M.
Representación: siendo S:[0, 1], disponemos las variables así: [0… (e)... (1-e)...(M)...1]. O sea, independientemente del (e) que elija, siempre quedaran infinitos números entre (1-e y 1) ® L(I[1-e, 1])>0.
§  Otras definiciones de la teoría de conjunto:
Sea SÌR y CI/CS: cotas inferiores y superiores respectivamente, definimos:
ü  Definición 01:
Para todo a, s Є S, se dice que (a) es cota inferior de (S), si para todo (s): (a≤s). Si existe alguna cota inferior para (S) diremos: (S) está acotado inferiormente.
ü  Definición 02:
Para todo b, s Є R, se dice que (b) es cota superior de (S), si para todo (s): (b³s). Si existe alguna cota superior para (S) diremos: (S) está acotado superiormente.
ü  Definición 03:
Si (S) está acotado inferior y superiormente, diremos que es un conjunto acotado.
ü  Definición 04:
Diremos que un conjunto (S) posee ínfimo – inf(S) –, si CI≠f. Dado (m) Є R, se dice que (m) es ínfimo de (S), si m=mayor de (CI). Si acaso m Є S, entonces: (m) es mínimo de (S).
ü  Definición 05:
Diremos que un conjunto (S) posee supremo – sup(S) –, si CS≠f. Dado (M) Є R, se dice que (M) es supremo de (S), si m=menor de (CS). Si acaso M Є S, entonces: (M) es máximo de (S).
§  Condición de Cauchy:
Se dice que una sucesión {x(n)} satisface la condición de Cauchy, si para cada número positivo (e>0), existe un numero natural m(e), tal que, para todo p, q Є N con (p y q³m(e)), se verifica que abs(x(p)-x(q))<e.
ü  Sucesión convergente: cuando dos términos de la secesión pueden ser arbitrariamente próximos, ésta converge – según la condición de Cauchy – a algún lımite.
ü  Propiedad de las sucesiones convergentes: de existir el límite de este tipo de sucesiones, éste es único.
§ 

Hipótesis del continuo:
En el contexto de los transfinitos: el conjunto de los números reales (2^(alef-0): infinito continuo) tienen un cardinal transfinito mayor al conjunto de los números naturales (alef-0: infinito discreto). Ahora, ¿existe algún número transfinito entre ellos (alef-0 < card(A) < 2^(alef-0))?

Numero complejo:
Extensión de los números reales creada para dar cuenta de todas las raíces polinomiales (valores que anulan un polinomio – ceros del polinomio –), algo inalcanzable para los números reales. Suelen representarse como: la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria), o en forma polar.
¿Qué número multiplicado por sí mismo resulta negativo?
§  X^2-2=0 ® x=(2)^0,5=(+/-)1,414213562373095, por convención se establece que x=(2)^0,5=1,414213562373095 {polinomio con ceros reales}.
§  X^2+2=0 ® x=(-2)^0,5=1,414213562373095i {polinomio sin ceros reales}.
§  X^2+4=0 ® x=(-4)^0,5=2i {polinomio sin ceros reales}.
Siendo: i^0=1; i^1=(-1)^0,5; i^2=((-1)^0,5)^2=-1; i^3=i*i^2=-i; i^4=i^2*i^2=1.
Cardinalidad de (C): (Card(C)=Card(R))
Sí (Card(R)=2^(0) y Card(C)=Card(R*R)=Card(R)^2) ® (Card(C)=Card(R)^2=(2^(0))^2=2^((0)*2)=2^0=Card(R)).

Según Cantor, ¿los infinitos números naturalesconjunto no denso – se agotarían antes de siquiera poder correlacionarse biunívocamente con los infinitos números reales del Intervalo Unidadconjunto denso (R) –; sin embargo alcanzarían (exactamente) a correlacionarse biunívocamente con los infinitos números racionalesconjunto denso (Q) –?
§  Cierto, cierto. Solo son números transfinitos propiamente un conjunto inductivo –: cardinales y ordinales, y no una cantidad – propiamente numérica. Ahora, ¿será esa la forma en que se los presenta?, uhm…
§  Divulgarizando: los elementos del conjunto de los números reales son más que los elementos del conjunto de los números naturales – sintéticamente: ¿la cantidad propiamente numéricade números reales es mayor que la cantidad propiamente numéricade números naturales? – {pero, ¿no eran ambos conjuntos infinitos?, uhm…}. Bien, entonces: ¿existen infinitos más grandes que otros?, ¿existen mayor cantidad de números reales que de números naturales? No. No, nene no: tan solo, existen en – teoría de conjuntos números transfinitos (cardinales y ordinales) mayores a otros – es que dicen por ahí que: infinito no es una cantidad (propiamente numérica) –. ¿Y si, matematizamos un poco?
§  Matematizando: el cardinal del conjunto de los números reales, es mayor que el cardinal del conjunto de los números naturales. Pero entonces, ¿era que existen números transfinitos más grandes que otros?
Bien, luego de tanta confusión – exclusivamente mía por supuesto –, propongo dejar al infinito donde debe estar. Es decir, más allá de los matemáticos trasnochados.

¿Exactamente qué cantidad – propiamente numérica – de números racionales existe entre dos racionales (arbitrariamente próximos)?
§ 

¿Será posible determinar el sucesor propiamente numérico de un número real?
§  Relación de orden en conjuntos numéricos:
En el conjunto de los números naturales hay una relación de orden, dado un número natural mayor a uno, este tiene un antecesor y un sucesor, esta idea se hereda al conjunto de los números enteros y este orden a su vez es heredado al conjunto de los números racionales.
Entonces, ¿está definida la función sucesor en los números racionales e irracionales?
Respuesta: pues, opino que: No. Dado que, por ej.: el sucesor de (x: 0,2), depende del incremento (Dx Є (Q o R)) – distancia a (x) – que arbitrariamente elijamos aplicar a (x). Claro que dicha limitación, no parece evitar que algunos matemáticos (trasnochados); afirmen haberlos listado {ver nota siguiente}.
§  En síntesis: es mi opinión actual que: dado que se consideran como conjuntos densos, la función sucesor no debería poder definirse en ellos. Claro que, eso no evita que podamos determinar entre dos números (distintos) racionales/irracionales cualesquiera (axiomas de orden): si uno es mayor, igual, o menor al otro.
Nota: o sea, es posible ordenar una lista (finita) de números racionales/irracionales (axiomas de orden). Pero desconozco – al menos actualmente –, siquiera como listar construcción numéricatodos los números irracionales, existentes entre dos números (distintos) cualesquiera de esos conjuntos – por próximos que estos sean. ¿Espero no estar complicando alguna demostración de Cantor?
§ 

¿Conocen a alguien que lograra recorrer dos rectas paralelas – por supuesto, dejando de lado su corroboración (empírica)?
§  Axioma de la unicidad representativa: a cada punto de la recta numérica real, le corresponde un único número real.
§  Según las propiedades de los números racionales e irracionales, ambos conjuntos de números constituyen un conjunto denso de puntos. Siendo que, entre dos puntos racionales (por próximos que sean), existen infinitos puntos irracionales que los racionales no pueden ocupar.
§  Corolario: en la recta real acabada (representación geométrica del conjunto de los números reales), existen infinitos puntos (adimensionales) en cualquiera de sus segmentos; sin importar su longitud.
§  Entonces, si nos remitimos al sistema métrico euclidiano, a lo mucho, habrá visto dos segmentos de rectas paralelos. Dado que en dicho sistema métrico, ver dos rectas paralelas; implicaría recorrer una longitud infinita. Según dicen, ante esta inconveniencia, Euclides definió recta como: segmento cuya longitud la podemos hacer todo lo larga que queramos {¿un infinito potencial?}.
§ 

¿Será posible poner en correspondencia biunívoca, una superficie con una línea recta, de forma que a cada punto de la superficie le correspondiera un único punto de la recta y recíprocamente?
Pues, según Cantor; sí es posible definir una correspondencia biunívoca entre recta y plano. Básicamente, su demostración consiste en representar cada punto de un cuadrado por un par ordenado de coordenadas en notación decimal. Siendo que, dichas representaciones decimales, son entremezcladas conforme a un procedimiento reversible – ej.: intercalando un decimal de cada par de coordenadas, a fin de construir un único desarrollo decimal, que se asocia a un único punto del segmento rectilíneo –. ¡Lo veo, pero no lo creo!, dijo Cantor {de momento, yo tampoco}.

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[ pseudo-Refutación de PCC ] -------------------------------------------------
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Claro que, para Cantor, tomar dos construcciones numéricas de infinitos decimales – no nulos – y con ellas construir numéricamente su singular concatenación; son operaciones aritméticas que cualquiera puede finalizarlas en un tiempo finito.
Haciendo lo anterior a un lado, en esencia, este método, consiste en imponer subrepticiamente e injustificadamente no siendo ello consecuencia de las propiedades del conjunto al que pertenecedensidad diferencial y dimensionalidad diferencial – una resolución diferencial a las coordenadas de la superficie, respecto de las de la línea recta. Teniendo como consecuencia vedada – en esta relación improcedentemente replanteada, el hacer inalcanzables desde la superficie, un infinito número de coordenadas de la línea rectasiendo ambos conjuntos: igualmente densos. En consecuencia, no puede establecerse una correspondencia biunívoca entre ambos conjuntos, dado que: o no es una función sobreyectiva o no es una función total [f: (área^DDlínea^DD+)] ® no-sobreyectiva y [f: (línea^DD+área^DD)] ® no-total –.
Nota: si proponemos, la existencia de idéntica cantidad de puntos “geométricos”¿cantidad propiamente numérica? – en el borde de una figura geométrica, así como, en su totalidad: ¿por qué razón, se nos obliga a emplear, respecto de una misma tendencia indetenible – constituida tanto respecto de sus bordes como del resto de la figura geométrica; es decir: poseyendo idénticas propiedades de conjunto –, diferente resolución infinita?
§  PCC: Procedimiento de concatenación de Cantor.

Definiciones positivas de conjunto infinito:
§  Un conjunto infinito (A), es un conjunto que tiene un subconjunto propio – uno que no es el mismo (A) –, con el que puede ponerse en correspondencia biunívoca.
§  Un conjunto infinito, es un conjunto que no puede ponerse en correspondencia biunívoca con ningún conjunto {1, 2, 3, ..., n} para ningún número natural (n).
§ 
Nota: entiendo que, esta pseudo-Refutación, problematiza o incluso puede llegar a invalidar las definiciones positivas de conjunto infinito que creo conocer.

Controversia: (hasta donde me he enterado)
Cantor, definió que dos conjuntos tenían el mismo número de elementos: si existía una correspondencia biunívoca entre los miembros de ambos conjuntos. Mientras que, Bolzano, concluyó que: la existencia de dicha correspondencia entre dos conjuntos infinitos (A) y (B), no justificaba la inferencia de su igualdad, en lo referente a la multiplicidad de sus miembros.
[]

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¿Es posible listar – construcción numérica – todos los elementos de un conjunto infinito?
§  Pues, no lo creo posible. Dado que listar – construcción numérica – todos los elementos de un conjunto infinito, implica una tarea inacabable.
§ 

¿Es posible listar – construcción numérica – todos los números de un intervalo?
§  Pues, depende del conjunto en cuestión y de la longitud del intervalo. En principio, diría que es posible listar – construcción numérica – todos los números de un intervalo de corta longitud, siempre y cuando, éste no pertenezca a un conjunto denso.
§ 

En tal contexto, ¿tiene sentido preguntarse, si una función (f: N ® (0, 1)) inexistente (dada su dependencia de la función sucesor – indefinida en conjuntos densos –); es o no biyectiva?
§ 

Entonces, ¿qué específica cantidad máxima de dígitos puede contener un número natural o la expresión entera de un número real?
§  No existe una específica cantidad – propiamente numérica – máxima de dígitos para estos casos. Por lo tanto, la cantidad – propiamente numérica – de dígitos que puede contener cualquier número, es ilimitada.
§  Recordemos que infinito, no es una muy grande y específica cantidad – propiamente numérica –. Tan solo, hace mención a una tendencia inacabable. Y el análisis de dicha tendencia, puede informarnos si una sucesión o función es: convergente, divergente, oscilante, alterante, monótona creciente (x®+¥) o decreciente (-¥¬x), acotada, etc.
§  Nota: lo ilimitado, remite a la ausencia de límites, que siendo restringido al ámbito de un ciclo, permite su finalización – al contrario de lo infinito –.
§ 

Entonces, – haciendo a un lado, el que (1/3 y 0,3) sean diferentes formas de representar simbólicamente (expresar) un mismo número – ¿(0,3), es un específico número racional periódico y/o una específica tendencia inacabable? ¿Poseer una específica expresión decimal infinita, viene a denotar una específica tendencia inacabable (es decir: una específica posición inalcanzable)distancia desde el origen de coordenadas – de la recta real acabada? ¿Qué semejanza tendrá lo anterior con el infinito?
§  (0,3): resulta ser un específico número decimal.
§  (1/3): resulta ser una específica ecuación aritmética elemental cuyo valor aritmético (resultante), es representado (no exhaustivamente) por (0,3). En tal contexto (1/3), posee un específico valor aritmético infinitesimal, que deviene siendo una específica tendencia inacabable.
§  (0,3): resulta no ser un específico número racional periódico en el sentido, en que: no es un número exacto (específico) y en ello, exhaustiva y singularmente coordenable –, sino una específica tendencia inacabable más precisamente: converge indefinidamente, en un específico intervalo cerrado de posiciones de la recta real acabada –.
§  (1/¥): resulta ser la representación simbólica de una específica tendencia inacabable, en el contexto del cálculo infinitesimalsucesión o función – que, analizada en dicho contexto, muestra una específica e inacabable convergencia hacia (0) – siendo, un número exacto (específico) y en ello, exhaustiva y singularmente coordenable .
§  Obviamente, infinito inespecífico proceso inacabable –, no converge, ni tan siquiera a un específico intervalo cerrado de posiciones de la recta real acabada, como si lo hace (0,3) – aunque, como he mencionado, en forma perpetuamente inexacta –.
§  Entonces, ¿aleft-0, es una específica cantidad – propiamente numérica –? ¿Será que el infinito/aleft-0/aleft-1/etc., par o impar?
§ 

Entonces, ¿aleft-0, es una específica cantidad – propiamente numérica –?

¿Serán acaso, más apropiados los términos densidad de elementos o dimensionalidad, a cardinalidad?
§  N%: los números Naturales, cubren el (N%) de la recta real acabada.
§  P%: los números Pares, cubren el (P%) de la recta real acabada.
§  Z%: los números Enteros cubren el (Z%), de la recta real acabada.
§  Q%: los números Racionales cubren el (Q%), de la recta real acabada.
§  I%: los números Irracionales cubren el (I%), de la recta real acabada.
§  R%: los números Reales cubren el (100%) de la recta real acabada.
§  C%: los números Complejos cubren el (100%, 100%) del plano complejo acabado.
§  Siendo: N%=P%<Z%<Q%<I%<C%.
Nota: ejes (x: ordenada, y: abscisa), R%=(Q%+I%), y (C) no es un cuerpo ordenado. Obviamente, este procedimiento solo funciona con conjuntos cuya densidad y/o dimensionalidad es conocida.
Considero que numerabilidad y (una combinación entre la densidad diferencial y la dimensionalidad diferencial definida entre conjuntos), no son lo mismo. Dado que, por ejemplo, se consideran numerables los conjuntos: naturales, pares, enteros y racionales. Mientras que en mi enfoque, estos no tienen todos la misma combinación de densidad diferencial y dimensionalidad diferencial.
Sintéticamente: existen distancias – puntos desde el origen de coordenadas inalcanzables – irrepresentables –, en específicos conjuntos numéricos. El método, básicamente consistiría en: comparar la dimensionalidad y densidad, de un conjunto respecto del otro – por ej.: ((D(IU(S))*r(IP(S))) vs (D(IU(S’))*r(IP(S’)))). Siendo IP(x), un intervalo cerrado representativo de la densidad del conjunto (x), y UR(x) el intervalo universal capaz de contener los conjuntos comparados.

Entonces, ¿el todo, es mayor a cualquiera de sus partes – Euclides –?
§  Conjunto finito: el todo, es mayor a cualquiera de sus partes.
§  Conjunto infinito: el todo, es mayor a cualquiera de sus partes – no decírselo a Cantor –. Dado que, existen elementos del conjunto parte que pueden ser alcanzados por el conjunto todo – distancias –, pero no viceversa. Esta idea, remite a la concepción como potencialidad y no como actualidad del infinito – ¿Gauss vs Cantor? –.
§ 
Critica: apelar a que: siempre puede establecerse una correspondencia biunívoca entre los puntos de dos segmentos cualesquiera disjuntos. Como fundamento de que ambos segmentos poseen exactamente, la misma cantidad ¿propiamente numérica?de puntos, implica:
§  Incurrir en similar error al de la correspondencia biunívoca entre una superficie y una línea recta: imponer subrepticia e injustificadamente no siendo ello consecuencia de las propiedades del conjunto al que pertenece (densidad diferencial y dimensionalidad diferencial) resolución diferencial a las coordenadas de cada segmento.
Nota: considero que no es posible establecer una correlación biunívoca, entre segmentos de recta de diferentes longitudes – de un mismo conjunto numérico –. Dado que, si ambos conjuntos pertenecen al mismo conjunto numérico y ambos conjuntos tienen diferentes longitudes, entonces: existirá al menos un (x) que pertenezca al de menor longitud, que no tenga imagen. En consecuencia – en esta relación improcedentemente replanteada –, no puede establecerse una correspondencia biunívoca entre ambos conjuntos, dado que: o no es una función sobreyectiva o no es una función total [f: (mayor^DDmenor^DD+)] ® no-sobreyectiva y [f: (menor^DD+mayor^DD)] ® no-total –.
§  Y a nivel divulgativo, considerar a infinito, como una específica cantidad propiamente numérica, de una específica unidad propiamente numérica.
En consecuencia, la comparativa entre conjuntos numéricos – infinitos –, me resulta más representativa entendida como recubrimiento, que como cardinalidad. O sea, en este caso, ambos conjuntos poseen la misma densidad de elementos y ambos son infinitos (potencialmente hablando) – inagotables y por lo mismo, no una específica cantidad propiamente numérica –. Y dado que, no es posible ponerlos en correspondencia biunívoca, tampoco poseerían el mismo cardinalnúmero transfinito (propiamente un conjunto inductivo) –.
Dato: se usa el teorema de la barra transversal, para asegurar que la prolongación de un punto de uno de los segmentos y el punto (F) exterior a los mismos, corta el otro segmento.


Función total: se define para todos los elementos del dominio.
Función parcial: se define para solo algunos elementos del dominio.

PD: Y ya que estamos, ¿conocen a alguien que posea actualmente infinitas manzanas?