Algunos conceptos matemáticos.

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Trigonometría:

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos".

Razones trigonométricas:

El triángulo (ABC) es un triángulo rectángulo en (C); lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo (x), correspondiente al vértice (A), situado en el centro de la circunferencia.

§  Seno:

El Seno: es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

Seno(x) = CB / AB = a / c

§  Coseno:

El Coseno: es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa.

Coseno(x) = AC / AB = b / c

§  Tangente:

El Tangente: es la razón entre el cateto opuestos sobre cateto adyacente.

Tangente(x) = CB / AC = a / b

Razones trigonométricas reciprocas:

§  Cosecante:

La Cosecante es la razón recíproca del seno, o también su inverso multiplicativo.

Cosecante(x) = 1 / Seno(x) = c / a = AG

§  Secante:

La Secante es la razón recíproca del coseno, o también su inverso multiplicativo.

Secante(x) = 1 / Coseno(x) = c / b = AD

§  Cotangente:

La Cotangente es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo.

Cotangente(x) = 1 / Tangente(x) = b / a = GF

Funciones trigonométricas inversas:

§  (y = seno (x)), es (x = arcseno(y)).

§  (y = coseno (x)), es (x = arccoseno(y)).

§  (y = tangente (x)), es (x = arctangente(y)).

Indefiniciones matemáticas:

La expresión “(k/0) es una Indefinición matemática”, de lo contrario ¿Para (k≠(0 e ∞)) que (x) podría hacer cierta la ecuación (x*0=k)? Sin embargo, cuando (k=0), obtenemos la expresión “(0/0) que si es una Indeterminación matemática”; dado que para cualquier (x≠∞) se da que (x*0=0); resultando en una indeterminación.
Nota: Recordemos que: (∞), no es una cantidad – propiamente numérica ( pormenorización al respecto ) –, sino, un símbolo que pretende representar una inespecífica/especifica (dependiendo del contexto, es decir: si se específica o no, el conjunto de pertenencia) tendencia inacabable o, confundido en la teoría de conjuntos (pos Cantor), con un número transfinito – propiamente conjunto inductivo ( pormenorización al respecto ) –, considerado como mayor a cualquier número de un conjunto.

Indeterminaciones matemáticas:

El resultado de una ecuación es indeterminado cuando no podemos definirlo sin contradicciones.

1.    (0/0=Indeterminado)

(0/0=x) por lo tanto (0=x*0), pero puedo reemplazar (x) por cualquier valor numérico y la igualdad seguirá siendo válida, lo que crea una Indeterminación del resultado.

2.    (∞/∞=Indeterminado)

(∞/∞=x) por lo tanto (x*∞=∞), como en el caso anterior puedo reemplazar (x) por cualquier valor numérico y la igualdad seguirá siendo válida, lo que crea una Indeterminación del resultado.

3.    (0^0=Indeterminado)

La Indeterminación se crea por solapamiento de Reglas matemáticas.

§  Regla 1: 1^0=1; 2^0=1; 3^0=1: (x^0=1).

§  Regla 2: 0^1=0; 0^2=0; 0^3=0: (0^x=0).

Entonces se crea una Indeterminación del resultado, no sabemos si da: (0) o (1).

4.    (∞^0=Indeterminado)

La Indeterminación se crea por solapamiento de Reglas matemáticas.

§  Por (Regla 1), exceptuando el (0) todo número elevado a la (0) resulta ser (1).

§  Regla 3: ∞^1=∞; ∞^2=∞; ∞^3=∞: (∞^x=∞).

Entonces se crea una Indeterminación del resultado, no sabemos si da: (1) o (∞).

5.    (0*∞=Indeterminado)

La Indeterminación se crea por solapamiento de Reglas matemáticas.

§  Por (Regla 3), todo número multiplicado por (∞) resulta ser (∞).

§  Regla 4: 0*0=0; 0*1=0; 0*2=0: (0*x=0).

Entonces se crea una Indeterminación del resultado, no sabemos si da: (∞) o (0).

6.    (1^∞=Indeterminado)

Demostración Principal:

§  Regla 5: (a^b=b*Ln(a)):  

Entonces transformo esta Indeterminación en otra del tipo (0*∞), que como antes determinamos, crea una Indeterminación del resultado, no sabemos si da: (1) o (∞).

Demostración Alternativa:

Se prueban varias sucesiones de la forma 1^(∞) encontrando diferentes resultados, lo crea una Indeterminación del resultado, aunque esta prueba seria en el contexto de Limites.

Demostración Tentativa:

§  Regla 6: 1^0=1; 1^1=1; 1^2=1: (1^x=1).

§  Regla 7: (x^∞=((∞, para x>1) y (0, para (0<=x<1)))).

Entonces se crea una Indeterminación del resultado, no sabemos si da: (0), (1) o (∞).

Resolución usando Límite:

Se busca que la función Indeterminada del tipo (1^∞), nos quede expresada de la siguiente forma:

1^∞ ≈ Lim(n->∞) (1+1/a(n))^a(n) = Lim(n->∞) (b(n))^c(n) = e

Siendo  a(n) una sucesión que tiende a (∞) o tratando “a la base (1)” como una sucesión b(n) que “tiende a (1)” y tratando “al exponente (∞)” también como una sucesión c(n) que “tiende a (∞)”.

7.    (∞-∞=Indeterminado)

Infinito representa una tendencia hacia algo que por sus propiedades de pertenencia puede tener cardinalidad diferente a otro Infinito, por lo tanto pueden ser diferentes tendencias la que intentemos restar, esto genera una Indeterminación del resultado, ya que no puedes determinar si el resultado será (+∞), (-∞) o quizás incluso (0).

§  (∞=Álef1) – (∞=Álef0) = (∞=Álef1).

(∞) – (∞.mayores a (n)) = (n).

(∞=Álef0) – (∞=Álef0) = (0).

Entonces se crea una Indeterminación del resultado, no sabemos si da: (∞), (n) o (0).

Operaciones elementales y el infinito-matemático: (no están considerados los signos de los ∞, debemos usar la regla de los signos y tener en cuenta que: (a)^(-k)=(1/a)^k)

§  Suma y Resta:

1.    (∞) -  (∞)     = (Indeterminado)

2.    (∞) + (∞)     = (∞)

3.    (∞) ± ( k)     = (∞)

§  Multiplicación:

1.    ( 0) × (∞)     = (Indeterminado)

2.    (∞) × (±k)   = (∞); para k≠(0 e ∞)

3.    (∞) × (∞)    = (∞)

§  División:

1.    ( 0) ÷ ( 0)     = (Indeterminado)

2.    (∞) ÷ (∞)     = (Indeterminado)

3.    ( 0) ÷ ( k)     = ( 0); para k≠(0)

4.    ( k) ÷ ( 0)     = (Indefinición); para k≠(0 e ∞)

5.    ( k) ÷ (∞)     = (∞); para k≠(∞)

6.    (∞) ÷ ( k)     = (∞); para k≠(∞)

7.    ( 0) ÷ (∞)     = ( 0)

8.    (∞) ÷ ( 0)     = (∞)

§  Potenciación:

1.    ( 1) ^ (∞)     = (Indeterminado)

2.    ( 0) ^ ( 0)     = (Indeterminado)

3.    (∞) ^ ( 0)     = (Indeterminado)

4.    ( k) ^ ( 0)     = ( 1); para k≠(0 e ∞)

5.    ( 0) ^ ( k)     = ( 0); para (k>0 y k≠∞)

…………….     = (∞); para (k<0 y k≠∞)

6.    ( k) ^ (∞)     = (∞); para (k>0 y k≠∞)

…………….     = ( 0); para (0<k<1)

7.    ( 0) ^ (∞)     = ( 0)

8.    (∞) ^ (∞)    = (∞)

Álgebra de Boole:

Conceptos Básicos:

§  Proposición Analítica: Enunciado del que se puede decir si es verdadero o falso.

§  Absurdo: Proposición que siempre es (falsa: ^).

§  Tautología: Proposición que siempre es cierta.

§  Conectivas elementales: por ej.: (Ø, ®, ^), el resto es “azúcar sintáctico  (al menos, en lógica proposicional)”.

Operación con Proposiciones:

o    Negación: (Ø): (ØA º A®^)

Si una proposición es cierta la negada es falsa. Si una proposición es falsa la negada es cierta.

o    Conjunción: (AÙB º Ø(A®ØB))

Las dos proposiciones deben ser ciertas.

o    Disyunción: (AÚBº ØA®B)

Al menos una de las proposiciones debe ser cierta.

o    Implicación: (®)

La proposición primera condiciona la segunda proposición.

o    Doble implicación: (« º (ØA®B)®(Ø(A®ØB)))

La proposición resultante sólo es cierta si ambas son ciertas o ambas falsas.

o    …

Funciones:

Función	Notación	Ecuación Lógica
Suma	OR	S = (a + b)
Multiplicación	AND	S = (a * b)
Inversión	NOT	S = a'
Suma Negada	NOR	S = (a + b)'
Multiplicación Negada	NAND	S = (a * b)'
Suma Exclusiva	XOR	S = (a' * b) + (a * b')
Suma Exclusiva Negada	NXOR	S = (a * b) + (a' * b')

Nota: un número (x), no es idéntico a la función cuyo límite es (x).

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Límite Matemático:

Existen funciones cuyo valor – para algún intervalo de valores de sus parámetros –, no puede calcularse numéricamente. En esos casos, podemos emplear una herramienta matemática denominada limite, capaz de describir su tendencia – comportamiento aritmético –, a medida que su/s parámetro/s se aproximan a cierto/s valor/es – no necesariamente numérico/s – de su dominio.

La idea general, es que: una función o sucesión, tiene límite, solo si podemos acercarnos a un cierto valor límite – no necesariamente numérico –, tanto como queramos – mientras: (|c-x|>0) –.

§  Para Sucesiones: [Lim(n®∞) a(n)=L].

Formalmente se dice que: la sucesión a(n) tiende hacia su límite (L) – o converge a (L) –, si y solo si, para todo número real (e>0) podemos encontrar un numero natural (N), tal que, todos los términos de la sucesión a partir de cierto número natural (n>N) converjan en(L) – cuando (n) crezca indefinidamente –: [a(n)®L « "e>0, $N>0 : "n>N ® |a(n)-L|<e].

§  Para Funciones: [Lim(x®c) f(x)=L].

Formalmente se dice que: el límite de f(x) cuando (x) tiende a (c), es (L); si y solo si, para todo número real (e>0), existe un número real (δ>0), tal que, si la distancia entre (x) y (c) es menor que (δ), entonces la distancia entre f(x) y (L), resulta menor que (e):[Lim(x®c) f(x)=L « "e>0, $δ>0:0<|x-c|<δ ® |f(x)-L|<e].

Síntesis: (obviando límites laterales, puesto que por ej.: Lim(x®0+) (1/x)=+∞, mientras que Lim(x®0-) (1/x)=-∞)

§  Siendo (c=∞) o un punto donde f(x) – y f(x) irreducible –, se indetermina o indefine; entonces: (f(c) ¹ Lim(x®c) f(x)). Por ej.: tanto en aritmética elemental, como en calculo diferencial: (1/0¹∞) y (1/∞¹0) – obviamente, salvo que estemos inmersos en ámbito de la recta real extendida {¿a poco les sorprende? Luego, le tildan a uno de extremista y paranoico} donde, el infinito, es admitido como un objeto sin distinción de signo (aunque, no un número real), donde estas operaciones si están definida o variantes de las mismas –. Mientras que, en calculo diferencial: (Lim(x®0) (1/x)=∞) y (Lim(x®∞) (1/x)=0).

§  En consecuencia, si bien resulta correcto expresar: (Lim(x®0) (1/x)=∞ {L}) – el límite, de f(x) cuando (x) tiende a (c), es (L) {expresado matemáticamente así, y considerado correcto, aun a sabiendas de que (∞), representa, por sí solo, una tendencia inacabable} –, debemos recordar que, la herramienta matemática, denominada límite, no nos entrega el resultado de una operación aritmética elemental, sino, el análisis del comportamiento aritmético de una función/sucesión al aproximarse a cierto/s valor/es de su dominio – es decir: su tendencia –.

§  Aunque, menos significativo, me gustaría mencionar que: siendo (x®∞), (x) nunca deja de ser una cantidad – propiamente numérica ( pormenorización al respecto ) – finita. Y obviamente: (∞), no es un número – ni de los naturales, ni de los reales, ni de los complejos, etc. –.

§  Dado que, (∞) no es un número, éste, no puede ser el resultado numérico de una operación de aritmética elemental – división numérica –.

§  El resultado de dividir indefinidamente – o sea, en forma infinita –, números diferentes de cero, nunca resulta ser cero – es decir: siempre restara algo por dividir –.

§  …

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¿Acaso es circunstancial que: (1=-1)?

1)    1 = 1^0,5.

2)    1^0,5 = (-1*-1)^0,5.

3)   (-1*-1)^0,5 = -1^0,5*-1^0,5.

4)    -1^0,5*-1^0,5 = i^2.

5)    i^2 = -1.

Conclusión:

Si en el paso (1), nos referimos a la raíz cuadrada de uno – y no a su raíz cuadrada positiva/principal –, el error (imprecisión: (-1)^0,5=abs(x)) se encuentra ahí. Dado que: todo número real positivo, posee dos raíces cuadráticas reales (una positiva y otra idéntica pero negativa), y todo número real negativo, posee dos raíces cuadráticas imaginarias (una positiva y otra idéntica pero negativa) – a excepción del cero –. Aunque con ese criterio, el resto de pasos acarrearían similar problema de imprecisión; por ej.: (-1=(i)^2=(-i)^2: -1=abs(i)^2) y ((-1)^0,5=(i)=(-i): (-1)^0,5=abs(i)).

En resumidas cuentas: si bien, dados dos números reales (a y r), se tiene que (r^2=a); entonces (abs(r)=(a)^0,5). Se asume – por convención – que, siendo (a) positivo, nos referimos exclusivamente a su raíz positiva (r). En cuyo caso, este paso no sería erróneo.

En consecuencia – y haciendo a un lado la precisión –, si como creo, nos referimos a la raíz cuadrada positiva de uno: el error se encuentra en el paso (3), puesto que: (-1*-1)^0,5≠(-1)^0,5*(-1)^0,5. Dado que: la raíz de un producto es igual al producto de las raíces de sus factores, si y solo si, la suma de sus argumentos se encuentra incluida en el intervalo (-p, p]. Y siendo que, para todo número negativo su argumento es igual a (p), entonces: p+p=2p !Є (-p, p].

§  Correcto: 1 = 1^0,5 = (-1*-1)^0,5 = (i^2*i^2)^0,5 = (i^4)^0,5 = i^2 = 1.

¿Acaso es circunstancial que: (1=2)?

1)    -1/1 = 1/-1.

2)    (-1/1)^0,5 = (1/-1)^0,5.

3)   (-1)^0,5/1^0,5 = 1^0,5/-1^0,5.

4)    i/2 = 1/(2i). {*1/2}

5)    i/2+3/(2i) = 1/(2i)+3/(2i). {+3/(2i)}

6)    i*(i/2 + 3/(2i)) = i*(1/(2i)+3/(2i)). {*i}

7)    (i^2)/2+(3i)/(2i) = i/(2i)+(3i)/(2i).

8)    -1/2+3/2 = 1/2+3/2.

9)    1 = 2.

Algunas propiedades de los números complejos:

§  Siendo la raíz cuadrada de (-1) indefinida en los reales (no existe cero de esa función en los reales), si lo está en los números complejos.

§  Una forma de expresar números complejos es con un par (a, b) de números reales. Siendo en este contexto: (a, 0) Є (C) = a Є (R) {o sea, ambos poseen idénticas propiedades}. Sabiendo que, por cada par (a, b) Є (R) existe (a+bi) Є (C); definimos al par (0, 1)=i.

§  Agreguemos que, todo número complejo es resultado de elevar al cuadrado otros dos números complejos distintos (uno positivo y otro idéntico pero negativo) – a excepción del cero –.

§  Definición de operaciones:

ü  Complejo (adición): (a, b)+(c, d) = (a+c, b+d).

ü  Complejo (multiplicación): (a, b)*(c, d) = (ac-bd, ad+bc). Consecuentemente: i^2 Є (C) = (0, 1)*(0, 1) = (-1, 0) Є (C) = -1 Є (R).

ü  Reales (adición de fracciones): ((a/b)+(c/d)) = (ad+bc)/(bd). En este específico contexto: a/1=a {o sea, ambos poseen idénticas propiedades}.

ü  …

§  …

Conclusión:

El error se encuentra en el paso (3), puesto que: (-1^0,5/1^0,5)≠(1^0,5/-1^0,5). Dado que: (a/b)^0,5=+/-(a^0,5/b^0,5) ≠ (-a^0,5/b^0,5)≠(a^0,5/-b^0,5).

Otros ejemplos de este error:

§  i = -1^0,5 = (-1/1)^0,5 = (1/-1)^0,5 = 1^0,5/-1^0,5 = 1/-1^0,5 = 1/i.

§  …

¿Si x=infinito y 1/x=0, entonces si multiplico ambos miembros por (x): 1=0?

§  (1/x)*x=0*x®1=0. Es decir: (1/¥)*¥=¥/¥=0*¥®¿1=0?

§  Ups, pero es que: tanto (0*¥) como (¥/¥, resultan ser: indeterminaciones aritméticas. Y ya que estamos: (1/x®1/¥), resulta no ser, ni una ecuación aritmética, ni algebraica.

En consecuencia, como los anteriores planteos, resulta ser una demostración matemática inválida. Que, según la intencionalidad del proponente – ámbito psicológico –, podrá además ser tenida por: o una falacia o un paralogismo – ámbito lógico –.

§   …

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¿Acaso es circunstancial que: (a=b, para a¹b)?

1)   a=b

2)   a*a=a*b

3)   a^2=a*b

4)   a^2-b^2=(a*b)-b^2

5)   (a+b)*(a-b)=b*(a-b)

6)   a+b=b

Conclusión:

El error está en el paso (5), puesto que: la división entre ceros es una indeterminación matemática. Dado que: siendo (a=b) entonces: (a-b)/(a-b)=0/0. Que si bien, puede tomar el valor (1), también puede tomar cualquier otro valor numérico.

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Suma de Cesàro: (S(n=1®¥)(n) = [ -1/12 ]®S(3) = 1+2+3+4+5… = [ -1/12 ])

Resultado usado en física en:

§  Resulta ser crítico para llegar a las 26 dimensiones de la teoría de cuerdas.

§  Resulta crítico para entender el cálculo de la fuerza de Casimir.

§  …

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S(1)=+1 -1 +1 -1 +1…®2S(1)=1®S(1)=1/2 {serie de Grandi}.

S(2)=+1 -2 +3 -4 +5-6…

S(3)=+1 +2 +3 +4 +5+6…=r+(r+1)+(r+2)+(r+3)+(r+4)… {" r>0 Є N}

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2*S(2)=      1 -2 +3 -4 +5  -6…

             (+) 

                      +1 -2 +3 -4 +5…

             (=)  1  -1 +1 -1 +1 -1…

®2S(2)=1/2®S(2)=1/4.

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S(3)-S(2)=      1 +2 +3  +4  +5 +6…

                  (-)

                        1 -2  +3  -4  +5  -6…

                  (=) 0 +4 +0 +8 + 0 +12… = 4*(+1+2+3…) = 4*S(3).

S(3)-S(2) = 4*S(3)® S(3)-1/4 = 4*S(3) ® S(3) = [ -1/12 ].

Funcion zeta de Riemann:

Z(s)=S(n=1®¥)(n)^-s=1^-s+2^-s+3^-s+4^-s+…

® Z(-1)=S(n=1®¥)(n)=1^1+2^1+3^1+4^1+… = [ -1/12 ].

Sumación de Cesàro:

Método alternativo de asignarle una suma a una serie infinita.

Sea {a(n)} una sucesión y S(k)=a(1)+,…,+a(k) la suma k-ésima de los primeros (k) términos de la serie: S(n=1…k)(a(n)). La sucesión {a(n)} se denomina sumable Cesàro, con una suma de Cesàro (a), si: lim(n=1®¥)(S(1)+…+S(n))/n=a {(a), viene siendo: el promedio aritmético de la sucesión de sumas parciales}.

Serie de Grandi:

Sea a(n)=-1^(n+1), para n³1. Es decir la sucesión {a(n)}=+1, -1, +1, -1, +1,…. En tal caso, la sucesión de sumas parciales S(k)=1+0+1+0+1…. Por lo tanto, los términos de la sucesión de sumas parciales son: 1, 1/2, 2/3, 2/4, 3/5, 3/6, 4/7, 4/8,…, por lo que: lim(n=1®¥)(S(1)+…+S(n))/n=1/2. Y dado que la sucesión de sumas parciales es convergente: la suma de Cesàro de la sucesión {a(n)}=1/2.

Gauss:

1+2+3+4+...n = (n*(n+1))/2 = ((S(a)-S(b))*(b-a))/2 {para a=1 y b=n}.

§  (S(a)-S(b))*(b-a))/2: suma los términos entre dos términos de la sucesión.

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Entonces, ¿cómo demostramos que: 0^0=limite (x®0) (x^x)?

§   

§  …

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Una axiomatización de los números reales:

1)   El quinteto (R, +, *, 0, 1) es un cuerpo con identidad (0) respecto de la (adición: +) e identidad (1) respecto el (producto: *).

§  En forma detallada:

ü  (R), es un conjunto no vacío, denominado: conjunto de los números reales.

ü  (+ y *), son operaciones binarias que se aplican a elementos de (R), y su resultado es un elemento de (R), denominadas: adición y multiplicación.

ü  Las operaciones (+ y *), son asociativas. Es decir, si a, b, c Є R, entonces: ((a+b)+c=a+(b+c)) y ((a*b)*b=a*(b*c)).

ü  Las operaciones (+ y *), son conmutativas. Es decir, si a, b Є R, entonces: (a+b=b+a) y (a*b=b*a).

ü  (0 y 1), son elementos de (R) y distintos entre sí: (0≠1).

ü  El (0), es neutro para la adición y el (1) es neutro para la multiplicación. Es decir, si a Є R, entonces: (a+0=a) y (a*1=a).

ü  Todo elemento de (R) tiene un inverso aditivo (opuesto). O sea, si a Є R, entonces existe b Є R (opuesto de (a)), tal que: (a+b=0). Y se denota: (b=-a).

ü  Todo elemento de (R)-{0} tiene un inverso multiplicativo (reciproco). O sea, si a≠0 Є R, entonces existe un b≠0 Є R (reciproco de (a)), tal que: (a*b=1). Y se denota: (b=a^-1).

ü  El producto distribuye a la suma. Es decir, si a, b, c Є R, entonces: ((a+b)*c=(a*c)+(b*c)).

§  En resumidas cuentas:

ü  La terna (R, +, 0), es un grupo conmutativo con identidad (0).

ü  La terna (R-{0}, *, 1), es un grupo conmutativo con identidad (1).

ü  El producto distribuye a la suma en (R).

2)   (≤) es una relación de orden total en (R).

§  Dados a, b, c Є R, se tiene:

ü  Reflexividad: a≤a.

ü  Antisimetría: a≤b, b≤a ® a=b.

ü  Transitividad: a≤b, b≤c ® a≤c.

ü  Tricotomía: a≠b ® a≤b ô b≤a.

§  Se definen las relaciones <, >, ³ de la siguiente forma:

ü  a<b significa a≤b y a≠b.

ü  a³b significa b≤a.

ü  a>b significa a³b y a≠b.

§  Se dice que un elemento m Є R es positivo si m>0, y se dice negativo si m<0.

§  Se dice que un elemento m Є R es no negativo si m³0, y se dice no positivo si m≤0.

3)   La suma y el producto son monótonas respecto el orden (≤).

§  Dados a, b, c Є R, se tiene:

ü  Si a<b, entonces a+c<b+c.

ü  Si a<b y c>0, entonces a*c<b*c.

4)   Si un subconjunto no vacío (A) de (R) tiene una cota superior, entonces el conjunto (B) de todas las cotas superiores de (A) tiene un elemento mínimo.

§   http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848

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Entonces, ¿por qué razón (0!=1)?

§  Factorial: (definición pre-elucubración de matemático trasnochado)

Para todo número natural (n), se denomina – (n!) – factorial de (n), al producto de todos los números naturales entre (n y 1).

§  Convención matemática: (0!=1)

Esta convención se originó para evitar la indeterminación que se presenta en la fórmula de combinación, para el caso en que m=n=1: C(m, n)=V(m, n)/P(n)=m!/(n!*(m-n)!).

§  Según la definición de factorial, (0!) carece de sentido, o sea, es una Indefinición matemática – o peor aún –.

(k+1)!=(k+1)*k!®(0+1)!=(0+1)*0!®1!=(1)*0!®1!=0!

4! = 4*3!    ®  3!  =   4!/4 = 6.

3! = 3*2!    ®  2!  =   3!/3 = 2.

2! = 2*1!    ®  1!  =   2!/2 = 1.

1! = 1*0!    ®  0! =   1!/1 = 1.

0! = 0*-1!   ® -1! =   0!/0 = Indefinición.

-1! = -1*-2! ®  -2! = -1!/-1 = Indefinición/-1.

{mejor no seguir patrones, cuando carece de sentido hacerlo, ¿verdad?}

Critica: la pega, de la anterior “demostración matemática”, reside en: (1*0!) – tomado como: ((1*a)=a) –. Siendo que, lo anterior, no nos garantiza que: (a=1), – dado que, esa relación es válida para cualquier otro número (incluido el 0) –. Ahora que, siendo: (1!=1*0!=1), la solución se hace única. Por lo tanto, en nuestro análisis, debemos retrotraernos a nuestra ecuación inicial: ((k+1)!=(k+1)*k!), implicando, como en el caso: ((x/0) " x≠0), – o sea, dicha ecuación, no está definida en ese punto – que ésta, es solo válida para todo k>0.

§  …

§   http://www.aprendematematicas.org.mx/LaTeX2e/FactorialCero.pdf

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Entonces, ¿la matemática, es un invento o descubrimiento humano?

Haciendo a un lado los factores limitantes del conocimiento mi respuesta – sintética – seria: es una creación y en tanto tal un descubrimiento.

Dado que, la matemática resulta ser ambas cosas. Es una creación, dado que resulta ser un específico modelo representativo de nuestra específica forma de relacionarnos (específica forma de pensar – conocer –); “impuesta” por cierto sustrato – necesario {x contextualización intrínseca} – del cual formaríamos parte {procedimentalmente hablando}. Y en tanto tal, un descubrimiento. Dado que, remite a la construcción de un modelo – sistema axiomático –, basado en el descubrimiento de específicos patrones que subyacen en nuestra específica forma de pensar – conocer – {obviamente, excluyendo las elucubraciones de específicos matemáticos trasnochados}. Ver [IPTRE] ( pormenorización al respecto ).

Dato: respecto de la representación de ese “exterior” (sujeto-entorno {lógicamente necesario}), ésta, puede o no ser isomorfa respecto del mismo – ver [VCxPE] ( pormenorización al respecto ) –.

Nota: según mi experiencia, no son pocos los que consideran al empleo – por parte de la física – de la matemática en sus explicaciones y consecuentes predicciones, prueba suficiente de su presencia – a nivel fundamental – en el cosmos. Siendo mi opinión actual que, en cualquier caso, lo que eso estaría probando seria que: dichos patrones esencialmente cuantitativos, pueden ser modelados – eficaz e incluso eficientemente –, mediante el empleo de la matemática – que consiste básicamente en el estudio de las propiedades y relaciones entre entidades abstractas, fundamentalmente mediante el empleo de la lógica –.

Síntesis: en este contexto, la matemática, resulta ser, tan solo una herramienta (obviamente abstracta) – afín a nuestro intelecto –, que la física “elige” emplear – por conveniencia – al modelar ciertas interacciones físicas.

Entonces, ¿descubrieron los mayas/indios el concepto posicional del cero – abstracción matemática –, en el interior de alguna roca?

Entonces, ¿inventaron los mayas/indios el concepto posicional del cero – abstracción matemática –, combinando específicas substancias químicas?

Entonces, ¿lo abstracto está constituido por lo no-abstracto?

Entonces, ¿cuál resulta ser la masa, carga eléctrica, volumen, color y textura fundamental del número (0)?

Entonces, ¿cuáles resultan ser los constituyentes físicos elementales – pertenecientes al modelo estándar de la física de partículas – del número (0)?

Entonces, ¿existen las matrices (mecánica matricial) o las ecuaciones diferenciales (mecánica ondulatoria) de la mecánica cuántica? (independientemente de que sean equivalentes)

Pretendo, nuevamente, poner de manifiesto que: la confusión entre el modelo (sea, de múltiples o singular interpretación) y lo modelado.

§  ¿Viola la dualidad onda-corpúsculo, el principio de no-contradicción?:   ( pormenorización al respecto ).

§  ¿Viola la superposición cuántica de estados – a consecuencia de la indeterminación de específicos resultados experimentales en mecánica cuántica –, el principio de causalidad?: ( pormenorización al respecto ).

§  …

Descubrimiento:

Implica: preexistencia y persistencia – causalidad y cierto grado de uniformidad –.

1)    Exclusivo del ámbito humano – sujeto {sistema} –.

2)    Exclusivo del ámbito universal – sustrato {sistema} –:

a)    Sea remitido a [SC.n].

b)    Sea remitido a [SI].

3)    Exclusivo del ámbito de la relación humano-universo – sujeto-entorno {sistema} –.

Nota: obviamente, de entre estas tres posibilidades, la única que actualmente considero lógicamente viable es la número (3).

Invento:

Implica: creación – inexistencia previa –. ¿Pero a partir de qué?

§  La demostración matemática, es teorética – o sea: remite a cierto grado de coherencia lógica –.

§  La confirmación física, es experimental (restringida exclusivamente al ámbito de lo singular o a lo mucho de lo particular {exceptuando obviamente la inducción completa}) – o sea: remite a cierto grado de adecuación empírica –.

Realidad matemática:

§  Aunque en apariencia, se nos presenten como proposiciones sintéticas. Las proposiciones: “1+1=2” y “ningún soltero es casado”, son analíticas – verdades solo en virtud de su significado y reglas empleadas –, que no aportan información respecto de lo percibido – menos aún, respecto de lo real –. Puesto que: resultan verdaderas con independencia de lo percibido.

§  Los números, resultan ser una abstracción de 2do nivel – como la energía y el tiempo – de lo percibido, que por serlo, no remiten a sustancia alguna.

Si bien, (2) y (auto), en última instancia devienen siendo: abstracciones. No parecen ser del mismo nivel. Si bien. Una de ellas: (autos), remite a alguna forma de sustancia. La otra: (2), remite a una relación de la misma.

Básicamente. Al profundizar, en un sistema físico constituido por un especifico volumen en donde emplazamos (2) específicos autos, podemos observar partes de auto, átomos, partículas subatómicas, incluso el espacio entre y en éstas; pero difícilmente, logremos observar ese específico – y en forma aún más relevante: singular –, número natural (2), o tan siquiera, partes del mismo.

Síntesis: las proposiciones sintéticas, resultan ser contingentes y las analíticas, resultan ser necesarias {tautológicas}.

§  Desde los inicios del siglo XIX la separación entre ambas concepciones, la ciencia y la demostración matemática, fue señalada en forma perfectamente clara por Dugald Stewart (filósofo olvidado por el descrédito en que cayó la escuela escocesa): “En las matemáticas nuestros razonamientos... no tienen ya como fin comprobar verdades acerca de existencias reales, sino determinar la filiación lógica de las consecuencias que se derivan de una hipótesis determinada. Si a partir de esta hipótesis razonamos con toda exactitud, queda manifiesto que no le podría faltar nada a la evidencia del resultado, pues éste se limita a afirmar un enlace necesario entre suposición y conclusión... De tales proposiciones no puede decirse que sean verdaderas y falsas por lo menos en el sentido en que se denomina proposiciones relativas a los hechos... Cuando se dice de estas proposiciones que unas son verdaderas y las otras falsas, tales adjetivos califican sólo su conexión con los data, no su relación con las cosas que existen en la realidad o con acontecimientos futuros." Uno de los primeros beneficios que se obtendrán a partir del método axiomático, será el de eliminar tales confusiones al separar las matemáticas puras, que son una ciencia formal, de las matemáticas aplicadas, que son una ciencia de lo  real. O, por decirlo en términos más claros, obligando a que se tome partido y se  escoja entre dos lecturas de una misma teoría matemática, ya sea que uno se interese en ella por coherencia lógica o como verdad empírica.

                                                                                   §   http://www.revistadefilosofia.org/55-19.pdf
§  …

Afirmaciones comunes que considero erróneas:
§  La ausencia de una infraestructura matemática – es decir, parte de su cuerpo teórico –, preferiblemente compleja, impide a una teoría tener siquiera el potencial de ser considerada como científica, aun, si ésta fuere empíricamente contrastada – por ej.: la selección natural, primordialmente en tiempos de Darwin –. Según esta corriente de pensamiento: en el mejor de los casos, estaremos hablando de divulgación científica.
§  Sin demostrarme entender perfecta y profundamente las matemáticas – a pesar de que estas, puedan no tener un correlato en la realidad (lo percibible). Es decir: ser tan solo conceptos que remiten a otros conceptos – de un modelo científico, jamás entenderás lo modelado. Y en consecuencia, no podrás objetar cosa alguna del modelo – aunque este fuese actualmente empíricamente incontrastable –, y éstas, estuviesen restringidas a su interpretación.
§  Sin rebatir las matemáticas de un modelo científico, es mejor llamarse al silencio respecto del mismo.
§  Las matemáticas – es decir: lo teorético –, tienen potestad sobre lo empírico: http://repositoriodeconfusiones.blogspot.com.ar/2012/12/planteo-sobre-la-paradoja-de-young.html#Tema.01.
§  …

PD: regalo: http://www.ted.com/talks/eduardo_saenz_de_cabezon_math_is_forever#t-147472

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(PI=Un circulo-cuadrado, es contradictorio), ¿verdad?:

§  Un círculo – en geometría inespecífica –, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, denominado centro, es menor o igual que la longitud del radio – esencialmente: es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia –.

§  Un cuadrado – en geometría inespecífica –, es una figura geométrica plana que consiste en cuatro puntos unidos por segmentos de igual medida, que encierran una región del plano, formando ángulos rectos (90°) – debe ser un paralelogramo –.

Bien. En la geometría Taxicab, la distancia es determinada por una métrica diferente que en la geometría Euclideana, y la forma de los círculos también cambia. Los círculos Taxicab, son cuadrados con los lados orientados en un ángulo de (45°) con los ejes coordenados. Claro que. También en geometría Taxicab, no existen las nociones de rectas paralelas y dada la definición de paralelogramo, un paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados opuestos paralelos, podemos concluir que estos no existen en la geometría Taxicab – no existen los paralelogramos –. Ergo: siendo geométricamente estrictos, la (PI: proposición inicial), resultaría verdadera, tanto en geometría Euclidiana como en Taxicab. No implicando eso, que sea verdadera en toda geometría – es decir: en un sistema axiomático formal (siendo válido incluso en lo informal), en donde se la pretenda derivar –, al menos, que se pueda construir.

Bien. ¿Y cuál es el punto de mi planteo? Pues, mostrar/demostrar – y, ni siquiera estoy entrando, entre otros limitantes/condicionantes (por ej.: FLC ( pormenorización al respecto ), PRS ( pormenorización al respecto ), etc.), en las implicaciones de la incomprobable potestad de la teoría respecto de la empírea ( pormenorización al respecto ) –, que: depende de lo que uses/abuses, lo que concluyes/confundes. Máxima que. Aplicada a este emblemático caso. Muestra/demuestra que: si no pretendemos ser geométricamente estrictos, eligiendo la geometría Taxicab para contextualizar dicha proposición, su valor de verdad cambia – de verdadero a falso –. Y, aunque irrelevante para este planteo, pero también lo haría, si en su lugar, elegimos una combinación de geometrías, por ej.: la Taxicab para el circulo y la Euclidiana para el cuadrado.

 

Finalmente. Lo incuestionablemente contradictorio sería un circulo-(no-circulo), ¿verdad? – pues, como siempre, para limitar/condicionar el valor de verdad de esta otra proposición, tendríamos que elegir otro sistema lógico (sistema lógico para-consistente ( pormenorización al respecto ) y/o replanteos improcedentes ( pormenorización al respecto ) (a saber: otras geometrías)) –. Ahora. Respecto de su existencia o no: a sabiendas de lo anterior, con solo apelar a la (CIU ( pormenorización al respecto ))/(CRGU  ( pormenorización al respecto )), cualquier afirmación quedara ineludiblemente problematizada.

¿Parodia de un silogismo?:

§  Si: Círculo = polígono de infinitos lados.

§  Si: Cuadrado = singular polígono de cuatro lados.

§  Ergo: Cuadrado = singular círculo.

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Paridad del (0):

Según la propiedad de paridad de los números enteros (aritmética elemental): el 0 resulta ser un número entero par.

Puesto que. El cero debería considerarse como un número entero par, si resultase ser un número entero múltiplo del dos: (0=0*2) y (0=0/2). Sintéticamente: lo seria, si pudiese expresarse como: (2k) – siendo (k), un número entero –.

Fundamentos extra propiedad matemática: (aritmética elemental)

§  (NrPar + NrPar = NrPar): (0+0=0).

§  (NrImpar < NrPar < NrImpar): (-1<0<+1).

§  (…, NrPar, NrImpar, NrPar, …): (…, -1, 0, +1, …) {respecto de su divisibilidad}.

§  ((NrPar)^(2 o 1/2) = NrPar): (0^2/0^1/2=0).

§  (Mod(NrPar;2) = NrPar): (Mod(0;2)=0).

§  …

Ahora. De momento, tengo unas pegas con esa propiedad de paridad de los números enteros. Y son:

Objeciones extra propiedad matemática: (aritmética elemental)

§  La división entre números enteros pares, estaría definida a excepción de que estos fuesen ceros.

§  La división entre distintos números enteros pares, estaría determinada a excepción de que el divisor fuese cero.

§  …

Nota: un número entero, resulta ser un elementos del conjunto numérico compuesto por: los números naturales, sus inversos aditivos (los números negativos) y el cero.

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§  Las matemáticas son para siempre | Eduardo Saenz de Cabezon (TEDxRiodelaPlat)

  

§  X:

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