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Relatividad del Tiempo: (viajes en el
Tiempo)
§ De momento, existen el principio de auto consistencia de Novikov
y la teoría de múltiples mundos de
Everett, que dicen dar soluciones consistentes a las paradojas que
se crearían al viajar al pasado en el tiempo; aunque también existe la conjetura de protección
cronológica, que presume de impedir la creación de dichas
paradojas impidiendo el viaje en el tiempo al pasado; he interpretaciones de
teorías que nos permiten viajar al futuro en el tiempo, así como modelos de
esas máquinas del tiempo al pasado y al futuro (Agujeros de Gusanos, Limite del
Horizonte de Eventos, Ergoesfera (Ronald Mallet)).
§ El tiempo según lo entiendo es una
modelización que contabiliza periodos arbitrariamente elegidos (esperanzados en
su regularidad y percibidos conscientemente).
§ El espacio-tiempo es una modelización
geométrica donde pueden ser localizados todos los objetos del universo. Dicha
geometría es deformada por la distribución y movimiento de masas y energías, y a
su vez dicha deformaciones condiciona el movimiento de masas y energías; afectando
la contabilización de los periodos (el supuesto paso del tiempo, el "Tiempo Propio" y sus equivalentes
en otros marcos de referencia inerciales). Ahora bien de ahí a afirmar que
dicha contabilización de periodos proyectados (proyección: representación en dimensiones
espaciales ortogonalmente dispuestas entre sí, diferentes a tres) gráficamente
en una "Curva cerrada de tipo Tiempo", pueda dar sustento a los
viajes al pasado o al futuro en tiempo, es para mí una mala interpretación del
modelo.
§ Superar (c) es
todavía una afirmación dudosa para mí; en los experimentos que dicen haberlo
logrado lo que supera (c) es la velocidad
de fase (que depende del índice de refracción del material) y no la velocidad de grupo que es la que
transmite la información, esa es hasta el momento menor que (c). Y esta velocidad de grupo fue
negativa en dicho experimento, o sea en sentido contrario a la onda
incidente (saliendo
antes de entrar del medio dispersor); de momento dudo que estos
experimentos están científicamente bien conformados o al menos de la
interpretación de sus resultados. Incluso me atrevería a decir que viajar más
rápido que (c) no implica necesariamente viajar al pasado o al futuro, solo que
la interacción se realiza de forma más rápida; para lo cual se debería considerar
(c) como condicionada a cierto tipo de circunstancias no ya una constante
universal.
§ …
Conclusión: (opinión)
De momento, para mí, el viaje en el tiempo (particularmente al pasado), es
una mala interpretación de los modelos científicos. Que el efecto se preceda a
sí mismo, es una más de las inconsistencias que los límites del conocimiento
nos lleva a considerar.
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Relatividad de algunas limitaciones
Físicas:
y =
Factor de Lorentz.
C = 299.792.458 m/s^2 aproximadamente 3x10^8
m/s^2.
Relatividad de la Adición
de Velocidades: (W)
§ Factor de Lorentz: Este Factor se
encarga de comparar las mediciones de observadores realizadas en diferentes
marcos de referencias inerciales.
§ Clásicamente: W = (u + v).
§ Relativistamente: W = (u + v)/(1+(u*v)/c^2).
ü Pues sí: (u=v=c) implicaría que W = (c
+ c)/(1+(c * c)/c^2) = 2c/2= [ c ].
ü Y aun si: (u=c y v=2c) implicaría que W = (c
+ 2c)/(1+(c * 2c)/c^2) = 3c/3 = [ c ].
ü Entonces sí: (u=2c y v=2c) implicaría que W = (2c
+ 2c)/(1+(2c * 2c)/c^2) = 4c/5 = [ 0.8c
].
ü Y claro si: (u=3c y v=2c) implicaría que W = (3c
+ 2c)/(1+(3c * 2c)/c^2) = 5c/7 = [ 0.7c
].
Conclusión
Parcial: La versión relativista
de (W), restringe la adición de velocidades de
forma tal que aun con velocidades superiores a (c), no se logra superar (c).
Conclusión: (opinión y consideraciones)
1. Recordemos que (1/0) en aritmética elemental es una Indefinición, o sea que ningún
numero multiplicado por cero en aritmética básica puede dar como resultado un
numero diferente de cero.
2. La resistencia de
un cuerpo a variar su velocidad depende de dirección de la
fuerza aplicada.
3. Estaríamos
logrando velocidades de orden del 99,9999999999% de
(c), o sea que viajaríamos a 299792457,9997 m/s; a tan solo 0.0003 m/s de (c) (dato: velocidad
del sonido aprox. 343 m/s). La "comparativa" inercial de la masa a
esas velocidades, seria de (1 kg a aprox. 7070950 kg), la temporal de (1s a aprox.
82 días), respecto de la longitudinal no se vería a simple vista.
4. ¿Podría ser esto
un signo de que la ecuación usada para representar este tipo de interacciones
pierde sentido (para el caso, deja de ser representativa), al hacer (v>=c)?
¿Pero cómo llegamos hasta (c)? Bueno,
salvo que, el Factor de Lorentz, deje
de ser representativo al aproximarse mucho a (c), no creo que deberíamos preocuparnos si para (v>=c) dejan de ser representativas
las ecuaciones usadas en estas interacciones, salvo que nos preocupe el viaje
en el tiempo hacia el pasado.
5. Sí, mi análisis, no resultase
erróneo. No debemos olvidar que (aunque, en no pocas ocasiones, se afirme lo
contrario o no se lo aclare, apelando, por ej. al verbo atributivo: (parece) más corta, cuando se mide en un
sistema de referencia respecto al que el objeto se mueve): ni la dilatación temporal, ni la contracción longitudinal, son fenómenos locales – es decir: son, experimentalmente inobservables, respecto
de relojes y reglas métricas solidarias
(en tiempo
propio y longitud propia) –. Aunque, desconozco si cabría
esperar y consecuentemente agregar a la ecuación algún grado de presión (compresiva) derivada de una contracción de
Lorentz-FitzGerald no-aparente – es decir: que se de en la realidad –). Dado que: si, por ejemplo, la contracción de
Lorentz-FitzGerald, fuese una variación física
no-relativa a un sistema de referencia/aparente (fenómeno físico – es
decir: dado en la
realidad –), superada cierta densidad (límite de compresión estructural), debería indefectiblemente
constituirse el colapso estructural de
la nave (desgarro
estructural longitudinal) y, superada las densidades de degeneraciones de
electrones/neutrones/quarks (así
como, el limitante de que la presión fuese en principio exclusivamente
longitudinal y no circunferencial), a velocidades muy próximas a las de (c), se alcanzase, el específico límite de Chandrasekhar de la
nave, ésta, debería indefectiblemente constituirse un Agujero Negro en movimiento.
Bien. También podríamos apelar, como algún que otro físico, a que: las moléculas e incluso los átomos (y, dado que, deviene como necesario, según la proximidad a (c), ¿me pregunto si las partículas elementales también?), se contraen longitudinalmente (en principio, evitando el problema de un significativo aumento de la densidad longitudinal y las degeneraciones debidas a Pauli) – a saber, como, en tal contexto, no se problematizan magnitudes propias del sistema (nave) como: energía, cargas, orbitales, etc. –. Aunque, igualmente, restaría demostrar: como, esta solución, evitaría el desgarro estructural longitudinal de la nave.
Nota: (solo idealmente, una contracción longitudinal local, provocaría un AN) según parece. Un objeto/Nave-Heavy de (d(0)=3,00*10^+04 cm de diámetro-reposo en dirección de avance) y una (M(0)=10,00*10^+07 kg de masa-reposo) a un (99,999999999999% de (c)), sufriría un incremento de masa relativista hasta aprox. (M(R)=7,11352535696351*10^+13 kg) y una contracción longitudinal – perpendicular a su dirección de avance – hasta aprox. un (d(R)=4,21731820645478*10^-03 cm), mientras que, su (r(s)=2,14444829154508*10^-13 cm – radio de Schwarzschild –). Ergo: aun, en condiciones ideales – probablemente irreales/inobservables (recordemos además que: la contracción sería no-esféricamente simétrica) –, restarían unos (10) ordenes de magnitud de compresión para alcanzar su respectivo (r(s)). Necesitando así. Un objeto/Planeta-Tierra de (d(0)=1,2742*10^+06 cm de diámetro-reposo en dirección de avance) y una (M(0)=5,972*10^+24 kg de masa-reposo) a un (99,999999999999% de (c)), sufriría un incremento de masa relativista hasta aprox. (M(R)=4,24819734317861*10^+31 kg) y una contracción longitudinal (perpendicular a su dirección de avance) hasta aprox. un (d(R)=1,7912356195549*10^-01 cm), mientras que, su (r(s)=1,80032326511224*10^+00 cm – radio de Schwarzschild –). Ergo: solo en condiciones ideales – probablemente irreales/inobservables (recordemos además que: la contracción sería no-esféricamente simétrica) –, se alcanzarían contracciones longitudinales próximas e incluso superiores a su respectivo (r(s)).
E incluso, podríamos apelar, como algunos otros físicos, a que: si lo mides, es
real (presumo que entendido como: la realidad). Siendo que, con ese
mismo criterio de realidad (espero – quizás siendo demasiado ingenuo –, sin
percatarse, de la fuente de confusión, que dicha afirmación resulta para el
lego, que recurre a “fuentes informadas”, para despejar su duda respecto de: ¿si
es un fenómeno físico de contracción
longitudinal, afecta realmente a las dimensiones del objeto en movimiento
relativo, o tan solo, es el producto de las limitantes de las condiciones y los agentes físicos (por ej.: fotones) empleados en su medida?), por ejemplo, un
espejismo, debería ser considerado como, un objeto tan real (presumo que
entendido como: la
realidad), como la fuente del mismo. Ya que, lo mides (observas).
…
Paradojas éstas (entre otras: paradoja de los granitos
de arena, paradoja de las
hormigas comunicadoras, etc.), análogas al
presunto incremento de la masa (0: en reposo) de un objeto (nave) en
movimiento a velocidades muy próximas a (c);
llegando incluso, a colapsar en un Agujero Negro. Si mal no entendí. Existen
propuestas para desterrar de la física el concepto de masa relativista (y, en su lugar,
apelar solo a: masa en reposo, energía y momento
relativista), para evitar paradojas, como la de la creación de
un Agujero
Negro.
En consecuencia, éste fenómeno, nos remite exclusivamente a: comparativas de
observaciones entre sistemas de referencias inerciales (formulación en RE) –
aunque también, podría demostrarse, la dilatación
temporal, respecto de los no-inerciales
(formulación en RG)
–. Lamentablemente, para mí, actualmente se comulga con que: los efectos (en RE), debidos a la dilatación temporal según un observador, son debidos a la contracción longitudinal según otro. Cuando, para mí, debería atribuirse
exclusivamente a la dilatación temporal.
En síntesis. Respecto de cada sistema
de referencia solidario, las diferencias observadas/calculadas (medidas) por
éste y su contraparte (no solidaria),
son solo aparentes (aparente dilatación
temporal y aparente contracción
longitudinal) – por ej.: en la paradoja
de los gemelos (descartando las etapas no-inerciales del viaje, ambos cálculos
en RE,
concluyen que es el otro, el que sufre de una dilatación temporal y de una contracción
longitudinal) –. Obviamente, ello, no implica que: al comparar, reencontrándose ambos en reposo
relativo, el acumulado de sus relojes, sea diferente (dado que, el tiempo, es una comparativa de los ritmos de cambios entre los elementos constitutivos de sistemas
no-abstractos).
Nota.1: esencialmente, la
discrepancia en éstas medidas (solidarias y no-solidarias), se deben exclusivamente,
a que se llevan a cabo en diferentes sistemas
de referencia inerciales. Es decir. Esencialmente, a la finitud constante
de la velocidad de (c) en el vacío
y, a las distancias no nulas y velocidades relativas, entre los puntos de cada
sistema no-abstracto. Y, específicamente, en el caso de la nave, la aparente contracción longitudinal
(distancia a recorrer), se resolvería, tan solo apelando a una dilatación temporal (restringida exclusivamente al interior de
la nave). Es decir: la distancia, a recorrer por la nave, es la misma, que la
previamente medida por ambos (el cosmos, no conspira, eligiendo respetar la
constancia de (c), comprimiéndose
una distancia longitudinalmente arbitraria en su dirección de avance, para que
ésta, arribe antes – en concordancia con los relojes solidarios a la nave (¿otra
que un sistema privilegiado?) – a destino).
Nota.2: Si bien, dentro
del tiempo propio de la nave, los
cambios (en particular, las reacciones
químicas de la combustión), parecen normales. Observada, desde fuera de la
nave (mediante, una serie de observadores en reposo relativo a la nave – dispuestos
equidistante y longitudinalmente a su avance –), el incremento de su velocidad
(aceleración) producida debido al principio
de acción-reacción (por ej.: eyección trasera colimada de los subproductos de la combustión),
parece ralentizarse, debido al diferencial
temporal. ¿Será la anterior, la verdadera causa que impediría alcanzar (c), a un objeto masivo autopropulsado?
Consultar (Pag 13): http://www.exa.unicen.edu.ar/catedras/fisica1/ApuntesOscar/Fisica%20I_Relatividad%20para%20Fisica%20I.pdf
6. …
Algunas
degeneraciones: (en contexto)
La degeneración de electrones (entre aprox. 2 y 3 masas Solares, electrones y
protones se combinan en neutrones) / degeneración de neutrones (mayor a aprox. 3 masas Solares, se crea un AN), es una aplicación estelar del principio de exclusión de Pauli. Dos electrones/neutrones, no pueden ocupar estados
idénticos, incluso bajo la presión de una estrella de varias masas solares
colapsando.
Nota: hay quienes
opinan que, podría existir, un límite incluso inferior de degeneración de quarks.
Efecto Shapiro: (dilatación gravitacional de desfases
temporales)
Efecto resultante de la RG, según
el cual, el tiempo de llegada de una señal que se propaga en el espacio, se ve
afectado por la presencia de materia en su proximidad. Este efecto, es la doble
combinación del hecho de que:
1) La señal, no se propaga en línea recta
y, por lo tanto, recorre un camino más largo del que sería en ausencia de masas
en su proximidad.
2) De que, el transcurso del tiempo, se ve
afectado por la presencia de un cuerpo masivo.
Pormenorizando: La gravedad del
Sol, produce una disminución de velocidad (relativa) y una desviación de la
trayectoria de los fotones, que transitan próximos a él y por lo tanto provoca
el retraso en su llegada. La velocidad de la luz, en un campo gravitatorio, resulta
de la composición de dos movimientos:
1)
uno rectilíneo uniforme,
producido por la velocidad de la luz en el vacío.
2)
y otro rectilíneo
uniformemente acelerado, provocado por la gravedad.
Si la luz, se emite desde un punto (A) y tiene que llegar a un punto (B). Debemos
orientar el rayo con cierto ángulo respecto a la recta que une (A) y (B), para
compensar la gravedad. Por lo tanto, debemos resolver el triángulo rectángulo,
formado por la velocidad de la luz como
hipotenusa, siendo la velocidad de
la gravedad el lado menor y la velocidad
de la luz en el campo gravitatorio el lado mayor.
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Relatividad de una
Paradoja: (paradojas del
movimiento y dicotómicas)
Entonces, ¿será cierto, eso de que, las paradojas de movimiento de Zenón, no se resuelven mediante el empleo de series geométricas convergentes?
Entonces, ¿será cierto, eso de que, las paradojas de movimiento de Zenón, no se resuelven mediante el empleo de series geométricas convergentes?
Parodia del postulado (modalidades de avance de
Zenón):
§ (A.d^(¬)=0): una
persona, no puede recorrer un estadio de longitud, porque primero
debe alcanzar a la mitad de éste, antes de eso, alcanzar la mitad de la mitad,
antes aún, debería alcanzar la mitad de la mitad de la mitad, y así
indefinidamente.
Modalidad de avance, que extendida innecesaria e (incongruentemente:
("x>(LP/TP))) a lo empírico – modalidad dependiente de (v y t) –,
equivaldría a: un diagnóstico
psiquiátrico diferencial de un estado
de catalepsia – presumiblemente temporal – en Aquiles y la Tortuga.
Catalepsia, atribuida a un estado de confusión – perplejidad histérica
–, respecto de la tarea a realizar, producto de la discrepancia
entre la teórica modalidad de avance de Zenón – tarea considerada imposible por tratarse de un proceso inacabable –
y empíricas experiencias
previas (introspección) – tarea considerada
posible debido a recuerdos en donde nos fue posible realizarlas –.
§ (A.d^(®)<T.d): una
persona, no puede recorrer un estadio de longitud, porque primero
debe alcanzar a la mitad de éste, después alcanzar la mitad del resto, y así
indefinidamente.
Modalidad de avance, que extendida innecesaria e (incongruentemente:
("x>(LP/TP))) a lo
empírico – modalidad dependiente de (v y t) –, equivaldría a: una dilatación
temporal tendiendo a infinito en el MRI (Aquiles) e infinita en MRI (Tortuga)
– singularidad
espacio-temporal en las cercanías del estadio de longitud –.
§ (A.d<T.d): una persona, no puede alcanzar un
móvil aventajado, porque cuando recorriese la distancia que les separase,
éste, habría avanzado, recorrida esa nueva distancia que les separase, éste,
habría avanzado, y así indefinidamente.
Modalidad de avance, que extendida innecesaria e (incongruentemente:
("x>(LP/TP))) a lo empírico – modalidad dependiente de (v y t) –,
equivaldría a: una dilatación temporal tendiendo
a infinito en el MRI (Aquiles-Tortuga) – singularidad
espacio-temporal suficientemente cerca del estadio de longitud –.
§ Recordemos que: el movimiento, resulta ser relativo al sistema de referencia en donde se lo derive/compruebe. Ergo: una comparativa entre longitudes/distancias de desplazamiento, remite inevitablemente a (v y t) y no a las innecesarias/inconducentes modalidades de avance de Zenón. Es decir: en éstas, no se comparan longitudes/distancias de desplazamiento por intervalo de tiempo, sino algo irreconocidamente como suficientemente diferente – es decir: incomparables –. Y en ello: otro pseudo-problema de los trasnochados.
§ …
En consecuencia, y no restringiendo éste postulado
al contexto matemático (teórico) – del cual nunca debería salir
–, según Zenón: una
persona, no podría recorrer ningún estadio de longitud (obviamente finito) espacial/temporal. ¿Bienvenidos
al cosmos del matemático-trasnochado?
Ahora bien. Restringiéndonos exclusivamente al contexto matemático. La constitución del
proceso inacabable – inevitable consecuencia de la modalidad de
avance de Zenón –, deriva de las propiedades de la suma
aritmética y de las propiedades de
los números reales – que permiten completar toda operación básica (menos las raíces
negativas de orden par y la división por cero). Es que, por más que sumemos infinitos términos, si cada
nuevo sumando, es un decimal menor al
sumando anterior, el resultado nunca llegara a ser una unidad entera más que el primer
sumando (aceptando que la razón
es menor que la unidad entera {creo que
se podría generalizar más esto, pero para nuestro problema es suficiente}) –.
Consideraciones a tener en cuenta:
1) La distancia a recorrer – estadio de longitud –, es una cantidad – propiamente numérica ( pormenorización al respecto ) – finita.
2) Poder, potencialmente dividir infinitamente – empíricamente: ("x>(LP/TP)))), en su acepción diferencial (que remite a una limitación experimental y, en ello, a la
potencialidad de ser superada, aunque, no creo que pueda compararse con una
potencialidad infinita) y en su acepción cronológica
(que remite
a una limitación teórica y, en ello,
a una potencialidad infinita) –, un estadio de longitud, no
implica que éste sea infinito – ¿infinito actual
empírico? –.
3) Asumiendo que: Aquiles se encuentra en un (MRU: movimiento rectilíneo uniforme), al disminuir la distancia recorrida, disminuye
proporcionalmente el tiempo invertido en dicho trayecto. Aún más.
Inmersos en un contexto puramente
matemático: tanto la distancia total, como el tiempo total del recorrido, resultan
ser sumas
aritméticas de infinitos términos decrecientes – tendientes a (0) –, cuyos valores – estadio de longitud – resultan ser finitos
(1).
4) El tiempo de iteración (TI) – excepto en la modalidad (A.d<T.d)
–, empleado para recorrer infinitos segmentos
de longitud decreciente – progresión geométrica convergente –,
resulta ser: una cantidad – propiamente un
conjunto inductivo ( pormenorización al respecto ) – infinita
– nota: (TI(∞: teórico))≠(TI(¬∞: empírico)), desestimando incluso (LP/TP)) –.
5) …
Nota: puesto que, tanto
Aquiles como la Tortuga, se encuentran en el mismo marco de referencia – ergo,
la Tortuga no observa a la distancia la caída
libre de Aquiles hacia el horizonte de sucesos de un Agujero Negro –, no se deberían producir,
comparativamente entre ellos, efectos
significativos de dilatación
temporal/contracción longitudinal
– siendo: Tortuga(v)<Aquiles(v)<<(c) –.
Extra: dado que, según
parece: ninguna
magnitud física puede sufrir una variación infinita. Aun, empleado el método de colapso continuo – consecuencia de una indefinición matemática (división
aritmética por cero), debido a la
cual, la división aritmética de números distintos a cero nunca resulta ser cero – nunca podrá
concretarse una singularidad
física, ni alcanzarse, una supuesta
densidad infinita – improcedente a
mi entender – en un universo
observable cuya escala temporal resulta ser finita – entropía
en aumento – {aun, si su velocidad de colapso gravitatorio fuese superlumínica}.
¿Ración diaria
asegura?
Disponemos, de una única ración
diaria y un dispositivo que cada día nos entrega la mitad de la ración del
día anterior. Según el planteo de Zenón,
nuestra sobrevivencia no estaría condicionada a la alimentación.
Ahora. Si Zenón, tuviese razón y
nuestras reservas alimenticias fuese
infinita – suma de infinitos pedacitos de un único y finito pan –, nuestra sobrevivencia, no estaría exclusivamente
condicionada a nuestra reserva
alimenticia. Sino, a la relación entre éstas y nuestras necesidades calóricas – entre otros nutrientes esenciales –.
Supertarea: ( pormenorización
al respecto ).
Hípertarea: ( pormenorización
al respecto ).
Serie matemática:
Una serie
matemática, es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión matemática (que en nuestro caso particular, resulta ser infinita) – [S=a(1)+a(2)+a(3)+…=å(i=0®¥) (a(i))] –. El estudio de estas series, consiste en: la evaluación de la suma de un número finito
(i) de términos
sucesivos, y mediante un pasaje al límite – empleando la herramienta
del análisis matemático (calculo) denominada límite [A] –, identificar el
comportamiento de la serie a medida que (i) crece indefinidamente.
[A]: de ahí que, en última
instancia, en series
matemáticas infinitas, el (v(S): valor
de (S))
– valor
procedimentalmente inalcanzable
desde el miembro: sumatoria (específica modalidad de avance) – deviene siendo una tendencia – específica convergencia –. Puesto que: esta herramienta matemática, solo es capaz de describir su tendencia – comportamiento –, a medida que su parámetro se aproxima a
cierto valor – no necesariamente numérico –.
Serie geométrica:
Una serie
geométrica, es una serie en la cual, la razón entre sus términos sucesivos, resulta ser constante.
§ Si bien, llevar a
cabo una suma aritmética de infinitos
términos, implica un proceso
inacabable – excepto, quizás para
quienes sostienen la existencia empírica de Supertareas –. Resolver
analíticamente – en un contexto
matemático –, una serie geométrica convergente, no lo es.
§ …
Serie geométrica convergente:
Una serie
geométrica, es convergente cuando su razón es constante (r≠0 y │r│<1) –
divergente
para (-1>r≥1)
y oscilante
para (r=-1)
–. En esos casos, el v(S) es finito
y resulta posible calcular exactamente
la suma de cualquier cantidad finita
de términos sucesivos sin emplear una
sumatoria
– finita o infinita –: [S(k)=å(k=0®n-1) (ar^k)=a*((1-r^k)/(1-r))].
§ Modalidad (A.d<T.d)’: (RSGC: resolución
por serie geométrica convergente)
Si asumimos: una ventaja de ((a=T.d(0)-A.d(0)=10m) ® (a’=(T.d(0)-A.d(0))/A.v=1s)) y que ((T.v=A.v/10m/s) ® (A.t=T.t/10s)). Entonces, inmersos en
una modalidad dependiente de (v y t), deducimos que:
A.d=(S=10+1+1/10+1/100+…
® (r=1/10))=å(i=0®¥) (a(i))=å(i=0®¥) (ar^i)=å(i=0®¥) (10*(1/10)^i)<a/(1-r)=10/(1-(1/10))=11.1m»(11.1m) ® A.d»(11.1m) {aproximadamente}.
A.t=(S=1+1/10+1/100+1/1000+… ® (r’=1/10))=å(i=0®¥) (a(i))=å(i=0®¥) (ar^i)=å(i=0®¥) (1*(1/10)^i)<a’/(1-r’)=1/(1-(1/10))=1.1s»(1.1s) ® A.t»(1.1s) {aproximadamente}.
Es
decir. Con este método, podemos
deducir que: Aquiles, alcanza a la Tortuga a una distancia aproximada de (11.1m)
y a un tiempo aproximado de (1.1s), de su partida – el que, en estos ejemplos, los v(S) posean decimales periódicos, es solo accidental
–.
Equivalencias
Zenón-Series geométricas convergentes:
ü (1-r): ratio constante entre términos sucesivos /
diferencial
de velocidad.
ü (a): 1er término de la serie geométrica / distancia de separación inicial.
ü (a/(1-r)): valor de (S) procedimentalmente inalcanzable / distancia de encuentro.
§ Estudio de la convergencia aplicando límite
matemático: (escueto)
Una serie geométrica (S=å(i=0®¥)
(a(i))), se denomina convergente, si la sucesión de
sumas parciales (S(k)=å(i=0®k)
(a(i))), tiene un límite finito (Lim(k®¥) (S(k))=L).
§ ¿Procedimiento de obtención de S(∞)?:
Siendo (S:
una serie geométrica convergente) y (k:
finito), tenemos que:
S(k)=a(1)+a(2)+…+a(k)=a(1)*r^0+a(1)*r^1+…+a(1)*r^(k-1).
S(k)*r=a(1)*r^1+a(1)*r^2+…+a(1)*r^k {multip. a.t. por (r)}
S(k)-(S(k)*r)=a(1)*r^0+a(1)*r^1+…+a(1)*r^(k-1)-a(1)*r^1-a(1)*r^2-…-a(1)*r^k {restar (S(k)*r)
de S(k)}
S(k)*(1-r)=a(1)-a(1)^k=a(1)*(1-r^k) ® S(k)=a(1)*(1-r^k)/(1-r).
Hasta aquí, encontramos la fórmula
para calcular la suma de los primeros
(k: finito) términos sucesivos de la serie geométrica convergente. Pero, ¿cómo calcular
la suma de sus infinitos términos sucesivos? Bien. Para ello, aplicaremos la herramienta de cálculo
denominada limite,
a nuestra formula de (S(k)):
Lim (k®∞)
S(k)=Lim (k®∞) (a(1)*(1-r^k)/(1-r))=Lim (k®∞) (a(1)/(1-r))-Lim (k®∞) (a(1)*r^k/(1-r))=((a(1)/(1-r))-(a(1)/(1-r))) Lim (k®∞) (r^k)=(a(1)/(1-r))*(1-Lim
(k®∞) (r^k))
Y dado que (0<r<1), por
ser (S)
decreciente, entonces: (r^k), tendera a (0). En consecuencia: (Lim
(k®∞) (r^k)=0). Siendo aquí, donde se nos
pide el verdadero salto de fe Cantoriano, al transmutar inconsecuentemente
nuestra S(k)
en S(∞),
expresándola como: [S(∞)=(a(1)/(1-r))*(1-0)=a(1)/(1-r)=v(S)]. En lugar, de expresarlo correctamente como: [S(∞)<(a(1)/(1-r))*(1-{aprox. 0}) ® S(∞)<a(1)/(1-r) ® S(∞)<v(S)]. Un infinito actual, que en forma alguna es
un trans-finito (
pormenorización al respecto ), ¿verdad?
§ …
Critica respecto de la
aplicabilidad de las modalidades de avance de Zenón:
§ Si la modalidad de avance fuese dependiente de (v y t), Zenón se
equivocaba, puesto que: (S), no resulta ser una serie geométrica infinita.
§ Si la modalidad de avance fuese independiente de (v y t), Zenón se
equivocaría, respecto de necesidad de
extenderla a lo empírico. Así como se equivocarían, los que comulgan con la
resolución matemática empleando series geométricas
convergentes, puesto que: (å(i=0®¥) (a(i))<v(S)), por ser (S) un proceso inacabable – (å(i=0®¥)), representa un proceso inacabable, no uno acabado (infinito actual),
de ahí que, nunca será igual a (v(S)), no olvidemos que, en el desarrollo existe
una igualdad que no es tal, puesto que: (å(i=0®¥) (ar^i)<a/(1-r)) –.
§ …
Sumatoria: (å)
La sumatoria,
es una notación matemática que
permite representar sumas de muchos
sumandos – (n) o incluso infinitos
–, evitando así, el empleo de puntos
suspensivos – (a(1)+a(2)+…+a(n)) – o de una explícita
notación de paso al límite. Se expresa,
mediante la letra griega sigma mayúscula – (å) –.
Longitud de Planck (unidad de longitud): (LP) (
pormenorización al respecto ).
Tiempo de Planck (unidad de tiempo): (TP) (
pormenorización al respecto ).
Análisis de paradojicidad en las paradojas
de Zenón: (escueto)
1.
Se presume/establece teóricamente: una resolución infinita – proceso inacabable
–, respecto de un sistema físico finito.
2.
Se establece y verifica teórica e empíricamente:
una modalidad
de avance infinita – proceso inacabable (aunque contra-paradójicamente empíricamente:
"x>(LP/TP)) –, en dicho sistema físico finito.
3.
Se establece y verifica teórica e empíricamente:
una modalidad
de avance finita – proceso acabable –, en dicho sistema físico finito.
4.
Ergo:
4.1.
Según Zenón: (2 y
3) construyen una contradicción de
términos – y en ello, cierto grado de paradojicidad – en dicho razonamiento – ámbito teórico
– y más importante aún, necesaria y procedentemente
extensible a lo empírico. Debido completamente, a la necesaria aplicación en
el ámbito
empírico de la modalidad
de avance de Zenón (postulado).
4.2.
Según Gastón: (2
y 3) no construyen una contradicción
de términos – y en ello, ningún grado de paradojicidad – en dicho razonamiento – ámbito teórico
– y por lo mismo, innecesaria e improcedentemente
extensible a lo empírico. Puesto que: ambos términos (2 y 3), tan solo, referencian diferentes
modalidades de avance, y consecuentemente ámbitos y limitaciones de aplicabilidad
– ¿ignoradas por Zenón? –. Es decir:
si bien, podemos teóricamente dividir
cualquier estadio (obviamente finito) de longitud/tiempo de forma infinita
– es decir: constituir un proceso inacabable sobre él –, no podemos hacerlo
(empíricamente: ("x>(LP/TP)). Pero.
Incluso obviando esa moderna limitación
empírica. Ello. No impide, en forma alguna, poder recorrer íntegramente – es
decir: constituir un proceso acabable sobre él – dicho estadio (obviamente finito) de longitud/tiempo.
Sintéticamente: independientemente
de las intenciones de Zenón, lo que
en sus pseudo-paradojas
se constituye, es tan solo, una falsa paradojicidad. Debido exclusivamente, al estado de
confusión – perplejidad – que las
teóricas modalidades de avance de Zenón – innecesaria e improcedentemente
extendidas al ámbito empírico – provocan en algunos receptores, al ser contrastadas con empíricas experiencias previas – introspecciones –.
Pormenorización de la modalidad de avance de
Zenón:
§ (A): Aquiles, (T): Tortuga, (d): distancia recorrida/a recorrer, (v): velocidad, (t):
tiempo invertido en (d), (Dd): incremento de (d), (MRI): marco de referencia inercial y (L): estadio de longitud (T.d-A.d).
§ (A.d=0): [recorrido: (L®0)]
(L=d)>0; (d=å(i=d®0) (-d/2))>0 – demostración por reducción
al absurdo: ("x≠0; Si (0=x/2) ® 0*2=0 ® x=0) –. Entonces: si (d>0) ® (V): A.d=0;
(F): A.d=L. Modalidad independiente de
(v y t).
§ (A.d<T.d): [recorrido: (0®L)]
L>0; A.d=0; A.d=å(i=0®¥) (L/2^i) – demostración por reducción al
absurdo: ("(a y b)≠0 ® Si (a/b=0) ® (a=b*0 o 1/b=0/a) ® a=0 o 1=0) –. Modalidad independiente de (v y t).
§ (A.d<T.d)’: [recorrido: (Dd(i) ®Dd(i+1))]
L>0; while (A.d<T.d) {A.d=T.d; T.d+=Dd}. Modalidad independiente de (v y t) [B], a pesar, de
proponer explícitamente que: (Dd(i)<Dd(i+1)).
§ …
[B]: aunque, no debería serlo. Pues, siendo ambos móviles – con independencia del ámbito – a diferentes (v), indefectiblemente, en una específica
y determinable iteración (i) del proceso (t y d), la Tortuga permanecerá relativamente inmóvil respecto de Aquiles, debido a que (A.v>T.v) – a excepción de que: exista una singularidad
espacio-temporal suficientemente cerca del estadio de longitud –. Destruyéndose así, incluso su pseudo-paradojicidad –.
Escueto análisis de la resolución matemática:
A este tipo de series matemáticas,
se las denomina series infinitas. Para
resolverlas se usa el modelo series geométricas
– cada término
se obtiene multiplicando el anterior por una constante, denominada razón: (siendo (│r│<1) y (r≠0),
la serie resulta ser convergente), y
puesto que, en nuestro caso (r=1/2),
nuestra serie geométrica resulta ser
convergente –.
Ahora. Si desarrollamos un poco la serie, quizás logremos descubrir lo que
nos limita. Aceptemos, que la modalidad de avance de Zenón fuese:
[S=(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+(1/32)+…].
§ Modalidad (A.d<T.d):
Como podemos constatar, luego de 28 divisiones consecutivas del
recorrido, Aquiles se aproxima al (0,999999992549419%) de la meta – estadio de longitud – de alcanzar a la Tortuga, pero no logra completarlo. Si represento, la modalidad de
avance de Zenón como el límite
para (i®+∞) de (1/2^i), resulta que este es aproximadamente (0) – tiende a (0) –. Es esa, modalidad de avance de Zenón, la que en el ámbito
teórico (matemático), torna imposible
la meta de Aquiles. Pues, en cada nuevo movimiento, avanza menos distancia de la anteriormente recorrida, y consecuentemente,
invirtiendo menos tiempo.
Entonces. Zenón,
afirma que: la distancia a recorrer por Aquiles,
para tan siquiera alcanzar a la Tortuga,
resulta ser una
suma infinita – proceso inacabable –, siendo evidente – bueno, recuerden eso de lo
evidente para unos –, que Aquiles
no puede recorrer una distancia infinita
– obviamente, no siendo éste infinitamente largo –. Despreocupándonos intrigantemente
de que: asumiendo la misma modalidad de avance de Zenón – que impone
una innecesaria e improcedente limitación a Aquiles
–, entonces ¿cómo pudo, la Tortuga, recorrer dicha distancia y
más aún, recorrer la restante hasta la meta?
Ahora. No son pocos los que afirman que: empleando
la forma general de estas series geométricas (convergentes), deberíamos
concluir que: [Si S=a/(1–r); a=1/2 y r=1/2; entonces: S=(1/2)/(1-(1/2))=1]. Aunque, lo correcto, seria concluir que: [Si S<a/(1–r); a=1/2
y r=1/2;
entonces: S<(1/2)/(1-(1/2))<1].
Resultado matemático (v(S)) que, según estos trasnochados debe interpretarse (a mi entender actual: incorrectamente) como: puesto que, si similares sumas de infinitos
términos decrecientes, dan como resultado un número finito, las paradojas
de Zenón de este tipo, no resultan ser tal.
§ Modalidad (A.d<T.d)’:
Esta
modalidad, equivaldría a mover el listón
indefinidamente – símil zanahoria y burro –. O sea, cuando Aquiles recorre
esos (d) metros, la Tortuga recorre (r*d) metros y cuando Aquiles
recorre esos (r*d) metros, la Tortuga recorre (r^2*d) metros y así sucesivamente.
En
esta modalidad
de avance de Zenón, Aquiles necesitaría recorrer: (d*r^0+d*r^1+d*r^2+…) metros para
alcanzar a la Tortuga, y siendo, que
es una suma de infinitos términos. Zenón, nos pide que concluyamos que: resulta
imposible siquiera alcanzar a la Tortuga,
por lo que ésta, cruzara primero la meta – como era eso, en un mundo
ideal (matemático)…, je –. ¿Sera una
Tortuga contra-paradójica?
Logrando
lo Zenón-imposible: (RC: resolución clásica)
Siendo, ambas velocidades constantes, idéntico MRU, idéntico instante de partida
y reducidos a simples masas puntuales; sabemos que: (d(0): distancia de separación inicial),
(s:
distancia recorrida por la Tortuga
desde d(0) hasta ser
alcanzada por Aquiles), (r: diferencial de velocidad) y (A.v=r*T.v). Pudiendo deducirse que: A.v=(d(0)+s)/t;
T.v=s/t; (d(0)+s)/t=r*s/t ® d(0)+s=r*s ® d(0)=s*(r-1) ® d(0)/(r-1)=s ® A.d=d(0)+s
{=(r*s)/(r-1)=d(0)/(1-r^-1)=a/(1-r^-1)} ® A.t=A.d/A.v.
En coincidencia – de valores
–, con nuestro ejemplo resuelto por series geométricas convergentes.
Siendo (d(0)=10m), (A.v=r*T.v)
y ((r=10) y (T.v=1ms) ® (A.v=10ms))
entonces: s=10/9; ®
A.d=10+10/9=11.1m ® A.d»(11.1m)
{aproximadamente}.
A.t=11.1/10=1.1s ® A.t»(1.1s) {aproximadamente}.
§ …
Conclusión: (opinión)
Aceptando que: toda paradoja, es tal, si se aceptan las premisas y
reglas de inferencia que así la constituyen, las paradojas de Zenón son tal: debido a sus específicas modalidades de avance – sus postulados
–. Modalidades de avance, que se autoexcluyen del ámbito empírico y resultan a su vez, ser innecesarias en el ámbito matemático. Siendo éstas, únicas responsables, de que se constituya – aunque solo en
apariencia –, una paradoja teórico-empírica. Puesto que: pretende
convencernos, injustificadamente, que la empírica tarea a realizar – ej.: por Aquiles, desentendiéndose intrigantemente
de la Tortuga –, resulta ser necesariamente infinita/("x>(LP/TP)); a pesar, de la ingente y contrastable evidencia
empírica en su contra.
En decir: la resolución
matemática – mediante el empleo de series geométricas convergentes (tendiente a transmutar inconsecuentemente, una suma de infinitos términos decrecientes, en una cantidad finita, como si ésta, fuese el
resultado de la operación aritmética
elemental finita (adición)) [C]) – de éstas pseudo-paradojas, no resulta ser
tal.
[C]: no es, que no sean
idénticos los resultados de (RSGC) y
(RC),
sino que: la obtención de uno de ellos – la de la (RSGC) –, resulta ser incorrecta.
Y en ello, invalida
como resolución matemática de las paradojas de Zenón de este tipo – es
decir: en el contexto de sus modalidades
de avance –.
¿Hombre de paja de los devotos de la (RSGC)?:
§ Para Zenón, su modalidad de avance resulta necesaria para llevar a término la tarea de Aquiles: (å(i=0®¥) (ar^i)) ® proceso inacabable ® TI(∞).
§ Para los devotos de la (RSGC), aun aceptando innecesariamente, la modalidad de avance de Zenón para
llevar a término la tarea de Aquiles,
arriban a una cantidad finita (å(i=0®¥) (ar^i)=v(S)) – proceso acabable – y congruente con la obtenida
por (RC)
– v(S){RSGC}=v(S){RC}
–. Desconociendo o minimizando equivocadamente, el que su herramienta matemática, no entrega el resultado de la operación
aritmética elemental finita (adición), sino, el análisis del
comportamiento de una función/sucesión al aproximarnos a cierto valor de
su dominio – cantidad, que en el mejor de los casos, debería tomarse
como: una tendencia/aproximación –.
Sintéticamente: Lo que, la herramienta matemática denominada serie geométrica convergente, puede entregarnos, es el valor de convergencia de dicha serie. Hecho que, para mí, se hace evidente, al emplear la herramienta matemática denominada límite, en su inválida demostración matemática y posterior aplicación. Misma que, como suelo expresar, no nos entrega el resultado de una operación aritmética elemental (en nuestro caso: una adición) – que, a pesar de ser, una suma de infinitos términos, parece no hacerlo evidente {¿efectos colaterales Cantorianos?} –, sino, el análisis del comportamiento de una función/sucesión al aproximarnos a cierto valor de su dominio.
Nota: a ver. Algunas precisiones respecto del invalido uso de (SGC) en la resolución de estas pseudo-paradojas. Podemos dividir-empíricamente una longitud-finita (d) un número veces hasta alcanzar una longitud-parte mayor a la (LP) así como elucubrar dividirla-abstractamente un número infinito de veces (decrecientes o no) – eso sí, comulgando con alguna especie de súpertarea ( pormenorización al respecto )/hípertarea ( pormenorización al respecto ) según nivel de infestación Cantoriana –. Ergo: de ser posible realizar dicha tarea divisoria, la unión de sus longitudes-partes dará (d). Ahora, ¿será posible usando la herramienta (SGC) realizar dichas tareas infinitas? Veamos. Si bien. La flecha, converge a la diana. Aquiles, converge a la Tortuga y ambos convergen a la meta. Converger, dado el uso de la herramienta límite-infinito-convergente – incluida en (SGC) –, nunca deja de ser el resultado-finito al que esta serie tiende – (d) en este caso –. Ergo: su uso, no debería considerarse como la demostración de la realización de una súpertarea/hípertarea – en este caso: haber atravesado un número infinito de pasos y arribado a (d) (un inacabable-acabado) –. Puesto que: tender/converger, no es lo mismo que alcanzar/arribar/afines – suceso que, estas pseudo-paradojas, concluyen como imposible –. Es decir: afirmar que (SGC) tiene la capacidad de resolver estas pseudo-paradojas – analíticamente: tornar un infinito en finito –.
A sabiendas de que, lo antes descripto, no implica: que la suma de longitudes-finitas en que se dividió una longitud-finita, sea distinta de la diferencia entre sus extremos – (d) en este caso –. Sino que: usar dicha herramienta, no completa una tarea incompletable.
§ Parodiando:
http://imageshack.us/photo/my-images/123/aquilesylatortugafilosowj3.jpg/
§ …
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